2.Общие понятия нечетких множеств

Идея, лежащая в основе теории нечетких множеств, заключается в том, что человек в своей повседневной жизни мыслит и принимает решения на основе нечетких понятий. Создание теории нечетких множеств - это попытка формализовать человеческий способ рассуждений

В классической математике мы хорошо знакомы с тем, что мы называем четкие множества.

Рассмотрим множество X всех вещественных чисел между 0 и 10, которые мы называем предметной областью. Теперь, определим подмножество A из X всех вещественных чисел в диапазоне между 5 и 8.  

       A = [5,8]

Покажем множество А в виде характерной (характеристической) функции, которая присваивает номер 1 или 0 к каждому элементу в X, в зависимости от того, находится ли элемент в подмножестве или нет (Рис.1-1)

Рис. 1‑1. Пример четкого множества

Мы можем называть элементы, которым присвоили номер 1 как элементы находящиеся в множестве A и элементы, которым присвоили номер 0 как элементы не принадлежащие множеству A.

Это понятие применимо для достаточно многих областей приложений. Но мы можем легко найти ситуации, где этот метод испытывает недостаток в гибкости. Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим пример, в котором мы хотим описать множество молодежи.

Пример 1.1

Пусть B = {множество молодежи}

Так как, возраст начинается с 0, то отрицательный диапазон этого набора должен быть пуст. Верхний диапазон довольно трудно определить. Для начала мы установим верхний диапазон, например, 20 лет. Следовательно, мы получаем B как четкий интервал, а именно:

B = [0, 20]

Теперь возникает вопрос: почему   кто-то на его 20-ом дне рождения молодой, а на следующий день не молодой? Очевидно, это - структурная проблема, поскольку, если мы возьмем другой интервал от 20 до любой произвольной отметки, мы можем задать тот же самый вопрос.

Более естественный способ - набор B должен состоять в том, чтобы ослабить строгое разделение между молодым и не молодым. Мы будем делать это, позволяя не только (четкое) решение ДА, он (она) находится в наборе молодежи, или НЕТ, он (она) не в наборе молодежи, но и применяя более гибкие фразы, подобно Хорошо, он (она) принадлежит немного больше к набору молодежи или НЕТ, он (она) почти не принадлежит к набору молодежи.

Таким образом, 1 присвоенная к элементу означает, что элемент находится в множестве B, а  0 - что элемент не определен в множестве B. Все другие значения означают частичную принадлежность к множеству B.

Г рафически это показано в виде характеристической функции (Рис.1-2).  

Рис. 1‑2. Пример нечеткого множества

Таким образом, в 25 лет вы все еще молоды, но не на все 100%, а всего на 50%.

Более четко:

Нечеткое множество А – это множество значений носителя (U)², такое, что каждому значению носителя сопоставлена степень принадлежности этого значения множеству А.

Например: буквы латинского алфавита X, Y, Z безусловно принадлежат множеству Alphabet = {A, B, C, X, Y, Z}, и с этой точки зрения множество Alphabet – четкое. Но если анализировать множество «Оптимальный возраст работника», то возраст 50 лет принадлежит этому нечеткому множеству только с некоторой долей условности , которую называют функцией принадлежности.