Расчет цилиндрической прямозубой передачи на контактную прочность

Расчет прочности контактирующих поверхностей зубьев основан на ограничении наибольших нормальных напряжений.

При выводе формул приняты следующие допущения: зубья рассматри­вают как два находящихся в контакте цилиндра с параллельными образую­щими (радиусы этих цилиндров принимают равными радиусам кривизны профилей зубьев в полюсе зацепления); нагрузку считают равномерно рас­пределенной по длине зуба; контактирующие профили предполагают не­разделенными масляной пленкой.

На основании этих допущений к расчету зубчатых колес можно приме­нить результаты исследований на контактную прочность цилиндрических роликов. Наибольшие нормальные контактные напряжения возникают в точках, лежащих на очень малой глубине под линией контакта по формуле Герца—Беляева:

                                                               (16)

где   — расчетная удельная нормальная нагрузка;   — приведенный мо­дуль упругости материалов зубьев;   — приведенный радиус кривизны профилей зубьев шестерни и колеса;   — коэффициент Пуассона. Для прямозубых колес без учета коэффициентов нагрузки

,                                                                                      (17)

где   — нормальная сила, действующая на зуб (см. рис. 35);   — окружная сила;   — суммарная длина контактной линии (для прямозубых передач   — ширина венца, так как  ; здесь   — коэффициент, учитывающий непостоянство суммарной длины контактной линии);   — коэффициент перекрытия.

Для учета неравномерности распределения нагрузки по длине контакт­ных линий, а также для учета динамических нагрузок вследствие погреш­ности изготовления и деформации деталей передачи вводят коэффициент нагрузки   (см. табл. 6-7).

Отсюда

                                                                        (18)

Приведенный модуль упругости  , где   и   — мо­дули упругости материалов шестерни и колеса.

Зубья рассматриваются как цилиндры длиной   (ширина зубчатого ко­леса) и радиусов   и  , где

Приведенный радиус кривизны зубьев в полюсе

Здесь знак «плюс» для внешнего зацепления, знак «минус» — для внут­реннего зацепления.                                                  

Подставляя значения   и   в формулу (17), после преобразований получим

            (19)

Обозначим в формуле (19) выражение   через  — коэффи­циент, учитывающий форму сопряженных поверхностей зубьев;

— коэффициент, учитывающий механические свойства

материалов сопряженных колес ( = 275 МПа^1/2 — для стальных колес);

 — коэффициент, учитывающий суммарную длину контактных линии для  прямозубых передач.

Получим расчетную формулу, рекомендуемую для проверочного расчета:

                                           (20)

После подстановки значений  ;   и   в формулу (20) и некоторых преобразований получим удобную для расчета формулу

                               (21)

Значение   определяют по формуле   ( — см. табл. 9).

После некоторых преобразований формулы (21) получим формулу проектировочного расчета для определения межосевого расстояния прямозу­бых зубчатых передач:

Обозначим   через вспомогательный коэффициент

 (для прямозубых передач при  = 1,25,    = 49,5 МПа^1/3).

Тогда формула проектного расчета для определения межосевого рас­стояния закрытых цилиндрических передач

                                                                    (22)

Допускаемые контактные напряжения (МПа) при расчете рабочих поверхностей на усталостное выкрашивание рассчитываются по формуле

,

где  — предел выносливости рабочих поверхностей зубьев (табл. 11), соответствующий базовому числу циклов перемены напряжений  , МПа (база испытаний   определяется по табл. 12);

 — коэффициент безопасности ( = 1,1 при нормализации, улучше­нии или объемной закалке; при поверхностной закалке и цементации  =1,2);

 — коэффициент, учитывающий шероховатость сопряженных по­верхностей зубьев ( );

 — коэффициент долговечности, который учитывает влияние срока службы, режима нагрузки передачи и возможность повышения допускае­мых напряжений для кратковременно работающих передач.

 

Таблица 11. Пределы контактной выносливости 

, МПа	Материал	Твердость поверхностей зубьев (средняя)	Термическая обработка зубьев
2 НВ + 70 18 HRC+150 17 HRC +200	Сталь углеродистая и легированная	НВ < 350 HRC 38-50 HRC 40-50	Нормализация, улучшение    Объемная закалка Поверхностная закалка
23HRC 1050	Сталь легированная	HRC> 56 HV 550-750	Цементация и нитроцементация  Азотирование

 

Таблица 12. Базовое число циклов 

Твердость поверх­ностей зубьев НВ	До 200	250	300	350	400	450	500	550	600
, млн. циклов	10	17,0	26,4	38,3	52,7	70	90	113	140

 

При     постоянной     нагрузке  ;   (или  ) — циклическая долговечность.

При переменной нагрузке расчетная циклическая долговечность опре­деляется по формуле:

,

где К_НЕ — коэффициент приведения переменного режима нагружения к постоянному эквивалентному

В расчетные формулы (21) и (22) входит меньшее из допускаемых напряжений, установленных для шестерни и колеса. Так как материал ко­леса имеет обычно меньшую твердость, чем материал шестерни, то в боль­шинстве случаев   для колеса меньше.

В табл. 11 даны значения предела выносливости   (база испыта­ний) для различных материалов зубчатых колес.

 

Последовательность проектировочного расчета цилиндрической прямозубой передачи

Исходными данными для расчета передачи обычно являются мощность (или вращающий момент), угловые скорости (или скорость одного вала и передаточное число), условия работы (характер нагрузки) и срок службы передачи.

Расчет закрытой цилиндрической прямозубой передачи.

1. Определить передаточное число и.

2. В зависимости от условий работы передачи выбрать материалы ко­лес, назначить термическую обработку и значения твердости рабочих по­верхностей зубьев (табл. 13).

 

Таблица 13. Предпочтительные марки сталей для изготовления зубчатых колес

Термическая обработка	ТвердостьНВ (HRC)	d, мм
		Любой	315	200	125	80
		b, мм
		Любая	200	125	80	50
Нормализация, улучшение	179-207 235-262 269-302	45	45 35ХМ	45 40Х 35ХМ	45 45 40Х	45 45 45
Поверхностная закалка ТВЧ	(45-50) (50-56)	—	—	35ХМ 50ХМ	35ХМ 50ХМ	35ХМ 50ХМ
Цементация НитроцементацияАзотирование	(56-63) (56-63) (50-56)	—	—	20ХН2М 25ХГТ 40ХН2МА	20ХН2М 25ХГТ 40ХН2МА	20ХН2М 25ХГТ 40ХН2МА

 

3. Определить базу испытаний N_HO, расчетную циклическую долговеч­ность N_H, вычислить коэффициенты и допускаемые напряжения изгиба.

4.  Выбрать коэффициент длины зуба (ширины венца колеса) и рассчи­тать  .

5. Определить межосевое расстояние из условия контактной прочности по формуле (22) и округлить его значение до стандартного.

Для стандартных редукторов расчетное значение а_ш округляют до бли­жайшего большего значения: 40, 50, 63, 80, 100, 125, (140), 160, (180), 200, (225), 250, (280), 315, (335), 400, (450), 500, (560), 630, (710), 800, (900), 1000 и т. д. до 25 000 (в скобках значения по 2-му ряду стандарта для  ).

6.  Задать модуль из соотношения   и округлить его значение до ближайшего стандартного (см. табл. 3). При этом в силовых передачах желательно, чтобы модуль был не менее 1,5—2 мм.

7.  Определить суммарное число зубьев  , передачи, числа зубьев шес­терни и колеса.

8.  По табл. 8 выбрать коэффициенты формы зубьев Y_Fi и Y_F2 для шес­терни и колеса.

9.  Проверить прочность зубьев по напряжениям изгиба. При неудовле­творительных результатах (  или  ) необходимо путем соот­ветствующего изменения числа зубьев и модуля; при том же межосевом расстоянии добиться уменьшения напряжений изгиба, не нарушая пр; этом условия контактной прочности.

10.  Произвести геометрический расчет передачи (см. табл. 5).

11.  Определить окружную скорость колеса v и по табл. 14 назначить соответствующую степень точности зацепления.

 

Таблица 14. Значения окружной скорости колес

Вид передачи	Форма зубьев	Твердость поверх­ностей зубьев коле­са (большего) НВ	Окружная скорость v (м/с, не бо­лее) при степени точности
			6	7	8	9
Цилиндрическая	Прямые   Не прямые	До 350 Св. 350 До 350 Св. 350	18 15 36 30	12 10 25 20	6 5 12 9	4 3 8 6
Коническая	Прямые	До 350 Св. 350	10 9	7 6	4 3	3 2,5

Примечание. Во избежание получения чрезмерно высоких значений коэффициентов нагрузки рекомендуется степень точности назначать на единицу выше, чем указано в таблице.

 

Расчет открытых передач. Иногда открытые передачи рассчитывают так же, как закрытые. Рекомендуется следующая последовательность расчета.

1.  Определить передаточное число и.

2. В зависимости от условий работы передачи выбрать материалы колес, назначить их термическую обработку и значения твердости рабочих поверхностей зубьев.

3.  Определить расчетную долговечность, вычислить коэффициенты режима работы и определить допускаемые напряжения изгиба.

4.  Задать число зубьев шестерни   и по передаточному числу опг: делить число зубьев колеса z₂.

5.  Определить по табл. 8 коэффициенты формы зуба Y_F.

6.  Выбрать коэффициент длины зуба (ширины венца колеса  ).

7.  Из условия прочности на изгиб определить модуль передачи т и округлить его до ближайшего большего стандартного значения (см. табл. 3)

8.  Произвести геометрический расчет передачи (см. табл. 5).

9.  Определить окружную скорость колес и по табл. 14 соответствующую ее степень точности зацепления.

 

Цилиндрические косозубые и шевронные зубчатые передачи. Устройство и основные геометрические и силовые соотношения

Косозубые зубчатые передачи, как и прямозубые, предназначены для передачи вращательного момента между параллельными валамя (рис. 36). У косозубых колес оси зубьев располагаются не по образующей делитель­ного цилиндра, а по винтовой линии, составляющей с образующей угол   (рис. 37). Угол наклона зубьев р принимают равным  , он одинаков для обоих колес, но на одном из сопряженных колес зубья наклонены вправо, а на другом влево.

Рис. 36. Цилиндрическая косозубая передача

 

Передаточное число для одной пары колес может быть  . В прямозубых передачах линия контакта параллельна оси, а в косозубых расположена по диа­гонали на поверхности зуба (контакт в прямозубых передачах осуществляется вдоль всей длины зуба, а в косозубых — сначала в точке увеличивается до пря­мой, «диагонально» захватывающей зуб, и постепен­но уменьшается до точки).

Достоинства косозубых передач по сравнению с прямозубыми: уменьшение шума при работе; меньшие габаритные размеры; высокая плавность зацепления; большая нагрузочная способность; значительно меньшие дополнительные дина­мические нагрузки.

За счет наклона зуба в зацеплении косозубой передачи появляется осевая сила.

Направление осевой силы зависит от на­правления вращения колеса (рис. 37), на­правления винтовой линии зуба, а также от того, каким является колесо — ведущим или ведомым. Осевая сила дополнительно нагру­жает валы и опоры, что является недостатком косозубых передач.

 

Рис. 37. Усилия  в  косозубой цилиндрической передаче

 

Шевронные зубчатые колеса пред­ставляют собой разновидность косозубых колес (рис. 38).

 

а)                                  б)

Рис. 38. Шевронная зубчатая передача

 

Цилиндрическое зубчатое колесо, венец которого по ширине состоит из участков с правыми и левыми зубьями (рис. 38, а), называют шеврон­ным колесом. Часть венца зубчатого колеса, в пределах которого линии зубьев имеют одно направление, называют полушевроном. Различают шев­ронные колеса с жестким углом (рис. 38, б), предназначенным для выхо­да режущего инструмента при нарезании зубьев. Шевронные передачи об­ладают всеми преимуществами косозубых, а осевые силы (рис. 39) проти­воположно направлены и на подшипник не передаются.

 

Рис.39. Усилия в зацеплении шевронных зубчатых колес

 

В этих передачах допускают большой угол наклона зубьев ( ). Ввиду сложности изготовления шевронные передачи применяют реже, чем косозубые, т.е. в тех случаях, когда требует­ся передавать большую мощность и высокую скорость, а осевые нагрузки нежелательны.

Рис. 40

 

Косозубые и шевронные колеса в отличие от прямозубых имеют два шага и два модуля: в нормальном сечении (см. рис. 44) по делительной окружности — нормальный шаг р_п, в торцовой плоскости — торцовый шаг р_t. Из условия, что модуль зацепления равен шагу, деленному на число  , имеем  ;   .

Для косозубых и шевронных колес значения нормального модуля т_n стандартизованы, так как профиль косого зуба в нормальном сечении со­ответствует исходному контуру инструментальной рейки и, следовательно, т = т_п(косозубые и шевронные колеса нарезают, тем же способом и инст­рументом, что и прямозубые). Нормальный модуль т_п является исходным при геометрических расчетах.

Определим зависимость между нормальным и торцовым шагом и модулем через угол наклона зубьев.

Если левую и правую части разделим на  , получим

;     .

Геометрические параметры цилиндрической косозубой и шевронной передач с эвольвентным профилем зуба рассчитают по формулам, приве­денным в табл. 15. По торцовому модулю т_t  рассчитывают делительные (начальные) диаметры, а до т_п — все остальные размеры зубчатых колес.

 

Таблица 15. Геометрические параметры цилиндрической косозубой передачи

Параметр, обозначение	Расчетные формулы
Нормальный модуль
Торцовый (окружной модуль)
Диаметр вершин зубьев в
Делительный диаметр d
Диаметр впадин зубьев
Шаг нормальный
Шаг торцовый (окружной)
Окружная толщина зубьев
Ширина впадин зубьев
Высота зуба
Высота головки зуба
Высота ножки зуба
Радиальный зазор
Межосевое расстояние
Длина зуба
Ширина венца

 

Окружная сила  . На косой зуб действует осевая сила   (см. рис. 37), радиальная (распорная) сила  .

В косозубдй передаче сила  , действующая на зуб косозубого колеса (см. рис. 44), направлена по нормали к профилю зуба, т.е. по линии зацепле­ния эквивалентного прямозубого колеса, и составляет угол   с касательной к эллипсу.

Эту силу разложим на две составляющие: окружную силу на эквива­лентном колесе   и радиальную (распорную) силу на этом колесе  .

Если, в свою очередь, силу   разложить по двум направлениям, то по­лучим такие силы:   — окружную силу,   — осевую.

Для зубчатого колеса с шевронным зубом окружную силу   и рас­порную   определяют по тем же формулам, что и для косозубой передачи т.е.  ,  . В шевронной передаче осевая сила   (см. рис. 39).

 

Винтовая передача (разновидность ко­созубой) состоит из двух косозубых цилиндри­ческих колес (рис. 41). Однако в отличие от косозубых  цилиндрических передач  с  парал­лельными валами касания между зубьями здесьпроисходит в точке и при значительных скоро­стях скольжения.  Поэтому при значительных нагрузках винтовые зубчатые передачи работать удовлетворительно не могут.

Рис.41.   Винтовая   зубчатая передача

 

Рис. 42

 

Рис. 43

 

Расчет зубьев цилиндрической косозубой и шевронной передач на изгиб

Расчет на изгиб косых и шевронных зубьев аналогичен расчету прямых зубьев.

Так как в косозубой и шевронной передачах зубья значительно прочнее прямых зубьев, то соответственно в расчетные формулы (5), (9) вводят коэффициенты, учитывающие повышение прочности при изгибе по срав­нению с прямыми зубьями.

Коэффициент формы зуба   выбирают по табл. 8 в зависимости от эквивалентного числа зубьев приведенного колеса (см. рис. 44):

,

где   — число зубьев приведенного (эквивалентного) колеса в сечении Б—Б (рис. 44);   — фактическое число зубьев;   — угол наклона зубьев.

Рис. 44. К расчету косозубых колес

 

Определение параметров приведенного цилиндрического колеса

Если зубчатое колесо рассечь нормальной плоскостью (см. рис.44), то в сечении начального цилиндра получим эллипс с полуосями   и  . Профиль зуба в этом сечении близок к профилю та­кого прямого зуба модуля  , который расположится на цилиндрическом колесе радиусом  , равным радиусу кривизны эллипса. Это колесо называется эквивалентным (приведенным) колесом. Радиус кривизны эл­липса  . Диаметр эквивалентного колеса  . Если в последнее выражение подставить  , то полу­чится число зубьев эквивалентного колеса (эквивалентное или фиктивное число зубьев):

или 

Проверочный расчет.

По аналогии с формулой (5) условие прочности зубьев на изгиб ци­линдрической косозубой передачи отличается введением поправочных ко­эффициентов:

- учитывающего перекрытие зубьев  ;

- учитывающего угол наклона зуба   (при   среднее зна­чение  );

- учитывающего распределение нагрузки между зубьями   (выбирается по табл.16).

 

Таблица 16. Значение коэффициента  , 

Степень точно­сти передачи	при окружной скорости  , м/с
	5	10	15
6	1,01	1,03	1,04	0,72
7	1,05	1,07	1,09	0,81
8	1,09	1,13	—	0,91

 

Приняв  , формула проверочного расчета косозубых передач на изгиб имеет вид

                                       (23)

где   — вращающий момент на колесе, Нмм;   — передаточное число;   — коэффициент длины зуба (табл. 9);   — коэффициент формы зуба (табл. 8 выбирается по эквивалентному числу зубьев шестер­ни  );    — число зубьев;   — нормальный модуль, мм;  и   — коэффи­циенты расчетной нагрузки (см. табл. 6 и 7);   — допускаемое напря­жение при изгибе, МПа (выбирается).

Расчет косозубых передач на изгиб ведется по менее прочному зубу у которого отношение   меньшее.

Проектировочный расчет.

С учетом формулы (8) из формулы (23)

                                                                           (24)

где   — нормальный модуль, мм;   — вращающий момент, Нмм;   — допускаемое напряжение при изгибе, МПа;   — вспомогательный коэф­фициент (для косозубых передач   учитывает также   и  ).