Распределение Стьюдента
Основными отличительными особенностями распределения Стьюдента является:
Во- первых, аналогом безразмерной величины z - статистики, определяемой выражением z =(x-μ)/σ, служит также безразмерная величина t=(x-μ)/s. В этом выражении вместо стандартного отклонения для генеральной совокупности устоит выборочное стандартное отклонение s, являющееся, по сути, случайной величиной (меняющейся от выборки к выборке) и определяемое поданным наблюдений хk с помощью выражения:
Здесь
выборочное среднее обозначено
,
а через n
обозначено число наблюдений.
Во-вторых, в отличие от стандартного нормального распределения, являющегося функцией лишь одной переменной z, t-распределение является не только функцией переменной t, но также зависит от еще одного параметра - числа степеней свободы v. Число степеней свободы равно общему числу наблюдений, уменьшенному на число линейных связей между ними. Если n выборочных наблюдений связаны 5 линейными уравнениями, то их распределение имеет v = n-s степеней свободы. Линейной связью является, например, формула расчета выборочного среднего и если выборочное среднее входит в формулу какой-либо статистики, то это уменьшает число степеней свободы на единицу.
Распределение
Стьюдента имеет случайная величина,
равная отношению двух независимых
случайных величин: стандартной нормально
распределенной величины Z (с нулевым
средним значением и единичной дисперсией)
и величины
,
выражающейся через случайную величину,
имеющую распределение
с n
степенями свободы. Распределение
(хи - квадрат, или распределение Пирсона),
имеет сумма квадратов n
независимых стандартных нормально
распределенных случайных величин (с
нулевыми средними значениями и единичными
дисперсиями). Вводя новую случайную
величину:
получим для нее t-распределение Стьюдента с n степенями свободы с плотностью вероятности:
.
График функции плотности вероятности распределения Стьюдента (рис. 11), как и стандартного нормального распределения, имеет симметричный колоколообразный вид, но является более "сплюснутым" по вертикали.
Из симметричности распределения Стьюдента вытекает важное соотношение между критическими точками этого распределения:
.
Рис.
11. Плотность распределения Стьюдента
На практике обычно используют не таблицы функции распределения Стьюдента F(z), а таблицы критических точек функции распределения Стьюдента, то есть точек с заданной вероятностью попадания в начинающиеся от них "хвосты" распределения.
Распределение Стьюдента используется, например, при проверке гипотез:
о среднем значении нормальной генеральной совокупности при неизвестной дисперсии;
о линейной независимости двух случайных величин (равенстве нулю коэффициента корреляции) - см. ниже в этой главе;
о статистической значимости коэффициента линейной регрессии.
Приложение 3 Соотношения между экономическими переменными. Корреляционная связь и ее статистическое изучение
Различные экономические показатели как на микро-, так и на макроуровне не являются независимыми, а связаны между собой; например, цена какого-либо товара и величина спроса на этот товар, объем производства и прибыль фирмы, располагаемый доход и объем личного потребления, инфляция и безработица.
Если не принимать во внимание стохастическую природу экономических данных, то для описания взаимосвязей различных экономических и финансовых показателей между собой применяется функциональный подход. Связь одного из показателей с другими показателями описывается с помощью функций одной у=f(х) или нескольких переменных у=f(х1,х2,...,х1). Такой подход применяется там, где вероятностный характер экономических процессов малосущественен для принятия решений.
На самом деле взаимосвязи показателей в экономике редко имеют простой функциональный вид, поскольку на интересующий нас показатель кроме явно учитываемых объясняющих переменных влияет еще множество других факторов, существующих в действительности, но не учитываемых явно в модели; часть из этих факторов -случайные. Это обусловливает стохастическую природу как некоторых экономических переменных, так и взаимосвязей между ними. Стохастические взаимосвязи переменных можно описать с помощью частотных (вероятностных) или корреляционных характеристик.