Нормальное распределение

Параметры распределения значений величин характеризуют распределение в целом. Функциональный вид распределения случайной величины позволяет получить полную информацию о вероятности реализации случайной величины в любом заданном интервале значений.

В экономической практике значительная часть событий представляет собой сумму большого числа независимых или слабо зависимых событий-величин (например, приход каждого покупателя в магазин и приобретение им некоторой совокупности товаром), дисперсии которых малы по сравнению с дисперсией всей суммы (например, при контроле качества суммарная погрешность есть результат неучтенного совместного воздействия целого ряда причин, каждая из которых дает малый вклад в ошибку измерений). Распределения таких случайных величин больше частью бывают неизвестны и в то же время при весьма общих дополнительных условиях они хорошо аппроксимируются нормальным распределением (причем совершенно неважно, по какому закону распределен каждый из вкладов в отдельности). Этим объясняется широкое распространение последнего. Нормальное распределение применяется и в тех случаях, когда истинный закон распределения известен, но вычисления по этому закону затруднительны, а аппроксимация его нормальным распределением допустима. Таким образом, наиболее часто встречающимся в социально-экономических процессах является нормальное или Гауссово распределение.

В экономической практике нормальный закон распределения часто встречается: объем продаж в конкурентной отрасли или в промышленности в целом, суммарные инвестиции, суммарное потребление домашних хозяйств и тому подобные величины, имеющие аддитивную природу, то есть складывающиеся из многих малых взаимно независимых величин.

Основная особенность случайной величины состоит в том, что нельзя предвидеть, какое значение она примет в результате испытания. Однако при достаточно большом числе испытаний поведение суммы независимых случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится почти закономерным. При увеличении числа слагаемых в сумме противоположные случайные колебания отдельных величин сглаживаются и распределение вероятностей суммы становится весьма простым, приближаясь при определенных условиях к нормальному распределению.

Рассмотрим основные свойства нормального распределения. Главное из них - если ряд случайных величин (Х₁, Х₂, ... , Х_n) имеет нормальное распределение, то их сумма (X₁,+Х₂ +...+ Х_n) или любая линейная комбинация (α,Х₁ + α₂Х₂ + ... + α_nX_n) также будет иметь нормальное распределение.

Нормальное распределение одной случайной величины X характеризуется лишь двумя параметрами: средним значением, обычно обозначаемым ц, и стандартным отклонением, обычно обозначаемым а. Это обычно обозначают так: Х= N(μ,σ).

Распределение величины , представляющей собой взвешенную сумму n независимых нормально распределенных случайных величин Х_k=N(μ_k,σ_k) с параметрами μ_k, и σ_k, также будет иметь нормальное распределение с параметрами и .

В частности, если все с_k = 1/n, все μ_k, и σ_k, одинаковы и равны μ₁, и σ₁, соответственно, то μ= μ₁, а σ_k= . Обозначая , имеем, таким образом, , . Отсюда видно, что разброс среднего арифметического независимых нормально распределенных случайных величин стремится к нулю при неограниченном увеличении числа этих величин. Если, например, взята достаточно большая репрезентативная выборка населения, то средний доход в выборке почти наверняка окажется близким к действительному среднему доходу населения.

График плотности вероятности нормального распределения имеет типичный колоколообразный вид и показан на рис. 10.

Рис. 10. Функция плотности вероятности нормального распределения

Максимум этой функции находится в точке х =μ, а "растянутость" вдоль оси X определяется параметром σ. Чем меньше значение этого параметра, тем более острый и высокий максимум имеет плотность нормального распределения. Аналитически плотность вероятности нормального распределения на интервале ( ≤Х< ):

а функция распределения:

.

Плотность нормального распределения достаточно быстро (экспоненциально) убывает при удалении х от среднего значения μ.

При оценивании параметров и проверке гипотез чаще применяют другое распределение, являющееся по сути выборочным аналогом нормального распределения и переходящее в него при бесконечно большом числе наблюдений. Это распределение называют распределением Стьюдента или t -распределением.