Свойства средней арифметической

Средняя арифметическая располагает рядом свойств, которые значительно упрощают расчеты на практике:

Свойство 1. Если все веса (f) увеличить или уменьшить в одинаковое число раз (а), то величина средней не изменится:

.

Свойство 2. Если каждую варианту (x) увеличить или уменьшить на одну и туже величину А, то средняя увеличится или уменьшится на ту же варианта отнять или прибавить произвольное постоянное число А, то средняя уменьшится или увеличится на то же число А:

Свойство 3. Если каждую варианту (х) увеличить или уменьшить в одно и то же число раз (i), то средняя увеличится или уменьшится в то же число раз:

Свойство 4.. Сумма отклонений отдельных вариантов от средней, взвешенных их частотами равна нулю:

Последнее свойство проверим на примере, когда турагентство организует поездки с различной дальностью:

№ тура	Дальность поездки (км.) х	Количество поездок f	xf
1 2 3 4 5	20 30 50 40 10	10 20 10 5 5	200 600 500 200 50	-11 -1 19 9 -21	-110 -20 190 45 -105
	150	50	1550	-	0

км.; .

Блок 7. Структурные средние

Структурные средние характеризуют структуру рядов распределения. К структурным средним относятся мода и медиана. Мода (Мо) – значение признака, которое наиболее часто встречается в изучаемой совокупности. В дискретном ряду мода – это варианта с наибольшей частотой. В интервальном вариационном ряду мода определяется по формуле:

где нижняя граница модального интервала; величина модального интервала; частоты модального, домодального и послемодального интервалов.

Модальный интервал – интервал, имеющий наибольшую частоту (частость). Например, среднедушевые доходы городского населения распределись следующим образом (табл.6).

Таблица 6

Средний душевой доход за месяц, тыс. руб.	Число жителей в % к итогу (f)	Накопленные частости (S)	Середина интервала (x)
до 5 5-10 10-15 15-20 20-25 30 и более	15 20 25 22 14 4	15 35 60 82 96 100	2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5
Итого	100	-	-

Рассчитаем модальное значение среднедушевых доходов населения города:

тыс. руб.

Наиболее частое значение среднедушевых доходов – 13125 рублей.

Медиана (Ме)- это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части – одна часть меньше, чем средний вариант, а другая больше. Для ранжированного ряда с нечетным числом членов медианой является варианта, расположенная в центре ряда. Например, стажи работы специалистов в туристской фирме – 1,2, 2, 3, 3, 4, 5 лет – медианой является четвертая варианта – 3 года. Для ранжированного ряда с четным числом членов ряда медианой будет средняя арифметическая из двух смежных вариант, находящихся в середине ряда. Например, сотрудники туристской фирмы имеют следующие стажи работы по специальности: 2, 2, 3, 4, 4, 6 лет – медианой является значение, равное: (3+4):2=3,5 года.

Чтобы определить медиану, необходимо найти ее порядковый номер, а затем по накопленным частотам (частостям) определить величину варианта, обладающего таким номером.

Для определения медианного значения в интервальном ряду используется следующая формула:

где, нижняя граница медианного интервала; - величина медианного интервала; полусумма частот ряда; - сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу; - частота медианного интервала.

Медианный интервал – интервал, в котором находится порядковый номер медианы. Для его определения подсчитывают суммы накопленных частот (частостей) до числа, превышающего половину объема совокупности.

Медианное значение среднедушевых доходов населения города составит:

тыс. руб.

Аналогичным образом могут быть рассчитаны четверти общего ряда – квартили, десятые доли – децили, сотые доли – процентили.