§1.1. Экономико-математические модели: сущность и виды

В общем виде модель можно определить как условный образ (упрощенное изображение) реального объекта (процесса), который создается для более глубокого изучения действительности. Метод исследования, базирующийся на разработке и использовании моделей, называется моделированием. Необходимость моделирования обусловлена сложностью, а порой и невозможностью прямого изучения реального объекта (процесса). Значительно доступнее создавать и изучать прообразы реальных объектов (процессов), т.е. модели. Можно сказать, что теоретическое знание о чем-либо, как правило, представляет собой совокупность различных моделей. Эти модели отражают существенные свойства реального объекта (процесса), хотя на самом деле действительность значительно содержательнее и богаче.

Подобие между моделируемым объектом и моделью может быть физическое, структурное, функциональное, динамическое, вероятностное и геометрическое. При физическом подобии объект и модель имеют одинаковую или сходную физическую природу. Структурное подобие предполагает наличие сходства между структурой объекта и структурой модели. При выполнении объектом и моделью под определенным воздействием сходных функций наблюдается функциональное подобие. При наблюдении за последовательно изменяющимися состояниями объекта и модели отмечается динамическое подобие, вероятностное подобие при наличии сходства между процессами вероятностного характера в объекте и модели, а геометрическое подобие при сходстве пространственных характеристик объекта и модели.

На сегодняшний день общепризнанной единой классификации моделей не существует. Однако из множества моделей можно выделить словесные, графические, физические, экономико-математические и некоторые другие типы ( 11, 14)

Словесная, или монографическая, модель представляет собой словесное описание объекта, явления или процесса. Очень часто она выражается в виде определения, правила, теоремы, закона или их совокупности.

Графическая модель создается в виде рисунка, географической карты или чертежа. Например, зависимость между ценой и спросом может быть выражена в виде графика, на оси ординат которого отложен спрос ( D ), а на оси абсцисс цена ( Р ). Кривая нам наглядно иллюстрирует, что с ростом цены спрос падает, и наоборот. Конечно, данную зависимость можно выразить и словесно, но графически она намного нагляднее (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Графическая модель, отображающая зависимость между спросом и ценой (11,18)

Физические, или вещественные, модели создаются для конструирования пока еще несуществующих объектов. Создать модель самолета или ракеты для проверки ее аэродинамических свойств значительно проще и экономически целесообразнее, чем изучать эти свойства на реальных объектах.

Экономико-математические модели отражают наиболее существенные свойства реального объекта или процесса с помощью системы уравнений.

Необходимо отметить, что опять же единой классификации экономико-математических моделей сейчас не существует, выделяют более десяти основных признаков их классификации (11,18). Рассмотрим некоторые из них:

1. по общему целевому назначению:

теоретико-аналитические (используются при изучении общих свойств и закономерностей экономических процессов).

прикладные (применяемые в решении конкретных экономических задач).

2 . по степени агрегирования объектов в моделировании:

макроэкономические (отражающие функционирование экономики как единого целого).

Микроэкономические (модели, связанные, как правило, с такими звеньями экономики, как предприятия и фирмы).

по конкретному предназначению (т.е. по цели создания и применения):

• балансовые модели (выражающие требование соответствия наличия ресурсов и их использования).

• трендовые модели (в них развитие моделируемой экономической системы отражается через тренд (длительную тенденцию) её основных показателей)

• оптимизационные (предназначены для выбора наилучшего варианта из определённого числа вариантов производства, распределения или потребления)

• имитационные (предназначены для использования в процессе машинной имитации изучаемых систем или процессов) и др.

по типу информации:

• аналитические (построенные на априорной информации).

• идентифицируемые (построенные на апостериорной информации).

по учёту фактора времени:

• статические (в них все зависимости отнесены к одному моменту времени).

• динамические (описывают экономические системы в развитии).

по учёту фактора неопределённости:

• детерминированные (если в них результаты на выходе однозначно определяются управляющими воздействиями).

• стохастические (если при задании на входе модели определённой совокупности значений на её выходе могут получаться различные результаты в зависимости от действия случайного фактора).

по типу математического аппарата, используемого в модели:

• матричные модели

• модели линейного и нелинейного программирования

• корреляционно-регрессионные модели

• модели теории массового обслуживания

• модели сетевого планирования и управления

• модели теории игр и др.

по типу подхода к изучаемым социально-экономическим системам:

• дескриптивные (модели, предназначенные для описания и объяснения, фактически наблюдаемых явлений или для прогноза этих явлений).

• нормативные (при нормативном подходе интересуются не тем, каким образом устроена и развивается экономическая система, а как она должна быть устроена и как должна действовать в смысле определённых критериев).

В данной курсовой работе в качестве примера будет рассмотрена экономико-математическая модель межотраслевого баланса (МОБ) - таблица «затраты-выпуск». С учётом приведённых выше классификационных рубрик это прикладная, макроэкономическая, аналитическая, дескриптивная, детерминированная, балансовая, матричная модель; при этом существуют как статические, так и динамические МОБ.

Итак, МОБ относят к балансовым моделям. Под балансовой моделью понимается система уравнений, каждое из которых выражает требование баланса между произведённым отдельными экономическими объектами количеством продукции и совокупной потребностью в этой продукции. В данном случае рассматривается система экономических объектов, которые выпускают некоторый продукт, часть его потребляется другими объектами системы, а другая часть выводиться за пределы системы в качестве её конечного продукта (11,232).

Если вместо понятия конечного продукта ввести более общее понятие ресурс, то под балансовой моделью следует понимать систему уравнений, которые удовлетворяют требованиям соответствия наличия ресурса и его использования.

Кроме требования соответствия каждого продукта и потребности в нём, могут указываться такие примеры балансового соответствия, как соответствие наличия рабочей силы и количества рабочих мест, платежеспособного спроса населения и предложения товаров и услуг и т.д. При этом соответствии понимается либо как равенство, либо менее жёстко – как достаточность ресурсов для покрытия потребности и, следовательно, наличие некоторого резерва.

Важнейшие виды балансовых моделей:

• частные материальные, трудовые и финансовые балансы для народного хозяйства и отдельных отраслей;

• межотраслевые балансы;

• матричные техпромфинпланы предприятий и фирм.

Балансовый метод и создаваемые на его основе балансовые модели служат основным инструментом поддержания пропорций в народном хозяйстве. Балансовые модели на базе отчётных балансов характеризуют сложившиеся пропорции, в них ресурсная часть всегда равна расходной. Однако необходимо отметить, что балансовые модели не содержат какого-либо механизма сравнения отдельных вариантов экономических решений и не предусматривают взаимозаменяемости разных ресурсов, что не позволяет сделать выбор оптимального варианта развития экономической системы. Этим определяется ограниченность балансовых моделей и балансового метода в целом.

Билет29

. Сущность макроэкономического равновесия

Различаются общее и частное макроэкономическое равновесие. Общее равновесие означает такое состояние экономики в целом, когда имеет место соответствие (согласованное развитие) всех сфер экономической системы с учетом интересов общества и его членов, то есть совокупной соразмерности и пропорциональности между важнейшими параметрами формирования макроэкономики: факторами экономического роста и их использованием; производством и потреблением, потреблением и накоплением, спросом на товары и услуги и их предложением; материально-вещественными и финансовыми потоками и др.

В отличие от общего (макроэкономического) равновесия, охватывающего экономическую систему в целом, частное (локальное) равновесие ограничивается рамками отдельных сторон и сфер народного хозяйства (бюджет, денежное обращение и др.). Общее и частное равновесие относительно автономны. Так, отсутствие частного равновесия в каком-либо звене экономической системы не означает, что последняя в целом не находится в равновесии. И наоборот, отсутствие равновесия в экономической системе не исключает отсутствия равновесия в ее отдельных звеньях. Однако известная независимость общего и частного равновесия не означает, что между ними нет взаимосвязи и внутреннего единства. Ведь состояние макроэкономической системы в целом не может не влиять на функционирование ее отдельных частей. В свою очередь, процессы в локальных сферах не могут не оказывать определенное воздействие на состояние макроэкономической системы в целом.

Макроэкономическое равновесие может рассматриваться как в статике, так и в динамике. Причем статическое экономическое равновесие характеризует условия простого воспроизводства, когда балансовая увязка целей и ресурсов, соотношение между различными элементами экономической системы происходят в условиях стационарной экономики. В отличие от этого, динамическое экономическое равновесие предполагает расширенное воспроизводство, при котором общие размеры экономической системы возрастают. Динамическое и статическое равновесие взаимосвязаны, поскольку последнее выступает в качестве предпосылки и основы динамического равновесия.

В качестве условия общего (макроэкономического) равновесия в экономике можно выделить: во-первых, соответствие общественных целей и возможностей (материальных, финансовых, трудовых и др.); во-вторых, полное и эффективное использование всех факторов экономического роста; в-третьих, соответствие структуры производства структуре потребления; в-четвертых, рыночное равновесие, сбалансированность совокупного спроса и предложения на рынках товаров, труда, услуг, технологий и ссудных капиталов, которые должны взаимодействовать друг с другом.

Все производственные, рыночные и нерыночные (политические, социальные, демографические и др.) факторы, влияющие на макроэкономическое равновесие, взаимосвязаны в процессе государственного регулирования экономики. Без этого невозможно достигнуть макроэкономического равновесия как в статике, так и в динамике, обеспечить сбалансированность всех сфер общественного воспроизводства (производства, распределения, обмена и потребления), согласованность между отраслями и рынками, всеми участниками экономической деятельности, направленной на ускорение экономического роста. Кроме сбалансированности и пропорциональности, являющихся необходимым условием и предпосылкой равновесного состояния макроэкономической системы, экономическое равновесие включает в себя исторически определенный механизм поддержания и корректировки макроэкономических балансовых соотношений.

Действительное макроэкономическое равновесие всей системы, не подверженной стихийным процессам, инфляции, спаду деловой активности и банкротствам, является идеальным, теоретически желаемым. Такое равновесие характеризуется полной оптимальностью реализации экономического поведения и интересов субъектов во всех структурных элементах, секторах и сферах макроэкономики. Однако для обеспечения данного равновесия требуется соблюдение ряда условий воспроизводства (все физические лица могут найти на рынке предметы потребления, а предприниматели — факторы производства, весь общественный продукт должен быть реализован и др.). В экономической жизни общества эти условия обычно не соблюдаются. Поэтому существует реальное макроэкономическое равновесие, которое устанавливается в экономической системе в условиях несовершенной конкуренции и при внешних факторах воздействия на рынок.

Однако и идеальное экономическое равновесие, носящее абстрактный характер, необходимо для научного анализа. Данная макроэкономическая модель равновесия дает возможность определить отклонения реальных процессов от идеальных, выработать систему мер по сбалансированности и оптимизации пропорций воспроизводства. К равновесному состоянию стремятся все экономические системы. Но степень приближения состояния экономики к идеальной (абстрактной) макроэкономической модели равновесия зависит от социально-экономических, политических и других объективных и субъективных условий жизни общества.

Билет20

Производство с одним переменным фактором

Допустим, что фирма в своей деятельности использует только один переменный ресурс — труд, отдачей которого является производительность. Как будут изменяться издержки фирмы при постепенном увеличении числа нанимаемых рабочих? Рассмотрим сначала, как будет изменяться выпуск продукции при увеличении численности рабочих. По мере загрузки оборудования выпуск продукции быстро нарастает, затем прирост постепенно замедляется до тех пор, пока рабочих станет достаточно для полной загрузки оборудования. Если дальше продолжать нанимать рабочих, они уже ничего не смогут добавить к объему производимой продукции. В конце концов рабочих станет так много, что они будут мешать друг другу, и выпуск сократится.

Производство с одним переменным фактором производства (трудом)

Рассмотрим случай, при котором капитал является фиксированным производственным фактором, а труд — переменным, причем фирма может увеличить производство за счет использования большего количества трудовых ресурсов. В табл. приводится объем выпуска при различных затратах труда и при фиксированном капитале, составляющем 10 единиц. Когда объем трудовых затрат равен нулю, выпуск тоже нулевой. При увеличении трудозатрат до восьми единиц выпуск продукции растет. Выше этой точки объем выпуска снижается: до этого момента использование каждой дополнительной единицы труда увеличивало производительность оборудования, однако после указанной точки дополнительные трудозатраты перестают быть полными и могут стать «антиэффективными».

Таблица: Результаты производства с одним переменным фактором

Затраты труда (L)	Затраты капитала (К)	Объем выпуска продукции (Q)	Средний продукт (Q/L)	Предельный продукт (AQ/AL)
0	10	0	—	—
1	10	10	10	10
2	10	30	15	20
3	10	60	20	30
4	10	80	20	20
5	10	95	19	15
6	10	108	18	13
7	10	112	16	4
8	10	112	14	0
9	10	108	12	- 4
10	10	100	10	- 8

Средний и предельный продукты

Использование живого труда в производственном процессе можно описать при помощи понятий среднего и предельного продуктов труда. Средний продукт труда АР_L, который представляет собой объем выпуска продукции, приходящийся на единицу используемого фактора, рассчитывается делением объема выпуска Q на общие затраты труда L, т.е. Q/L. В нашем примере средний продукт первоначально растет, но начинает снижаться, когда трудоемкость становится больше 4 единиц. Прирост продукции за счет увеличения на единицу количества переменного фактора называется предельным продуктом этого фактора. В рассматриваемом примере предельным продуктом труда МР (англ. marginal product) будет прирост объема производства за счет привлечения одного дополнительного рабочего. В пятой колонке указаны предельные продукты труда МР_L, представляющие собой дополнительный объем, получаемый при увеличении затрат труда на одну единицу. Предельный продукт труда записывается как AQ/AL (т. е. изменение объема выпуска AQ в результате увеличения затрат труда L на одну единицу). Предельный продукт труда зависит также и от количества используемого капитала. Например, если капитальные затраты возрастут с 10 до 20, наиболее вероятно, что предельный продукт труда увеличится. Подобно среднему продукту предельный продукт сначала увеличивается, а затем снижается, однако он начинает снижаться только тогда, когда затраты труда превышают 3 единицы. На рис. 1 показаны изменения объема выпуска продукции с ростом численности рабочих L (англ labour). Как видно из графиков, прирост производства сначала быстрый, затем постепенно замедляется, останавливается и наконец становится отрицательным.

Рис. 1 Закон убывающей отдачи.

Динамика выпуска продукции с увеличением численности рабочих (о) и динамика предельного продукта (б): Q — объем выпуска; L — численность рабочих; mpl — предельный продукт труда

Однако фирма в своей деятельности сталкивается, в первую очередь, не с количеством используемых ресурсов, а с их денежной оценкой: ее интересует не количество нанятых рабочих, а затраты на заработную плату. Как изменятся издержки фирмы (в данном случае на оплату труда) на каждую дополнительную единицу выпускаемой Убывающая отдача

В данном случае как по отношению к труду, так и по отношению к капиталу действует закон убывающей отдачи. Чтобы увидеть, почему, например, сокращается отдача от труда, проведем горизонтальную линию, фиксирующую использование капитала на определенном уровне, скажем 3 единицы. Подсчитывая данные об объеме выпуска продукции по каждой изокванте по мере роста трудозатрат, мы отмечаем, что каждая дополнительная единица труда дает все меньший и меньший прирост выпуска продукции. Таким образом, закон убывающей отдачи действует по отношению к труду как в долговременные, так в краткосрочные периоды. Увеличение использования одного фактора при фиксированном положении другого приводит ко все более и более низкому приросту выпуска продукции, а изокванта становится все круче по мере замещения труда капиталом и все более плоской, когда капитал замещается трудом. Закон убывающей отдачи действует и по отношению к капиталу. При фиксированных трудозатратах предельный продукт капитала снижается по мере роста капитала.

Билет21

Замещаемость производственных факторов

Угловой коэффициент каждой изокванты указывает, каким образом происходит замещение одного фактора производства другим при сохранении постоянного объема продукции. Абсолютное значение углового коэффициента называется предельной нормой технологического замещения (MRTS). MRTS труда капиталом представляет собой величину, на которую может быть сокращен капитал за счет использования одной дополнительной единицы труда при фиксированном объеме выпуска продукции. MRTS всегда является положительной величиной. В математической форме:

MRTS = - К/L,

где К и L представляют собой относительно небольшие изменения капитала и труда для отдельной изокванты (т. е. для постоянного Q).

Заметим, что на рис. 6 предельная норма технологического замещения (- K/L) равна 2, когда затраты труда увеличиваются с 1 единицы до 2 и выпуск продукции фиксируется на уровне 75 единиц. Однако MRTS снижается до 1, когда затраты труда возрастают с 2 до 3, а впоследствии уменьшаются с 2/3 до 1/3. Ясно, что чем больше труда замещается капиталом, тем менее производительным становится труд, а использование капитала становится относительно более эффективным. Поэтому чтобы сохранить постоянным объем выпуска продукции, необходимо сократить минимальное количество капитала, в этом случае изокванта приобретает более плоскую форму.

Рис. 4. Предельная (маргинальная) норма технического замещения

Изоквантные кривые имеют вогнутую форму — MRTS сокращается по мере движения вниз вдоль изокванты. Уменьшение предельной нормы технического замещения говорит о том, что эффективность использования любого производственного фактора ограничена. По мере замещения в производственном процессе капитала большим количеством труда производительность труда снижается. Аналогичным образом когда труд замещается большим количеством капитала, его отдача снижается. Производству требуется сбалансированное сочетание обоих производственных факторов.

Как мы и предполагали, MRTS тесно связана с предельными продуктами труда МР_L и капитала МР_K. Объем дополнительного выпуска в результате увеличения трудозатрат = MP_L * L; сокращение выпуска в результате уменьшения капитала = МР_K * К. Так как мы сохраняем объем выпуска продукции постоянным для всей изокванты, изменение объема выпуска продукции равно нулю. Таким образом:

MP_L *L + МР_K*К = 0.

Теперь, меняя условия, мы видим, что

MP_L *МР_K = - К/L = MRTS.

Уравнение говорит о том, что для отдельной изокванты непрерывное замещение капитала трудом в производственном процессе приводит к росту предельного продукта капитала и уменьшению предельного продукта труда. Общим результатом обоих изменений является тенденция к снижению предельной нормы технического замещения и выравниванию изокванты.

Билет22

Изокоста и равновесие производителя в краткосрочном периоде. [2/2]

Максимизировать выпуск при данных издержках позволяет прямая равных издержек - изокоста -комбинации ресурсов, использование которых ведет к одинаковым затратам. Рост бюджета производителя или снижение цен на ресурсы сдвигает изокосту вправо, а сокращение бюджета или рост цен - влево. Точка касания изокванты с изокостой дает равновесие производителя, т.к. позволяет достичь максимального объема производства при имеющихся ограниченных ресурсах, которые можно затратить на покупку ресурсов.

Для нахождения точки равновесия производителя соеди­ним точки на оси абсцисс и оси ординат, в которых затраты на факторы производства будут равными. Получим изокосты.

Теперь совместим изокванту с многочисленными линиями равных издержек. В точке B, где изокванта касается одной из линий равных издержек, издержки производства будут минимальными.