2.2. Длина дуги
Если кривая задана уравнением вида у = f(x), то длина дуги вычисляется по формуле
EMBED Equation.3
(2.2.1)
где а и b – абсциссы начала и конца дуги.
Если кривая задана
уравнением вида EMBED Equation.3
,
то длина дуги вычисляется по формуле
EMBED Equation.3
(2.2.2)
где с и d – ординаты начала и конца дуги.
Если кривая задана
уравнением в полярных координатах
EMBED Equation.3
,
то, принимая за параметр угол EMBED
Equation.3
и учитывая, что EMBED Equation.3
получаем формулу (2.2.3) для вычисления
длины дуги:
EMBED Equation.3
.
(2.2.3)
Если кривая задана
параметрическими уравнениями EMBED
Equation.3
то длина ее дуги вычисляется по формуле
(2.2.4):
EMBED Equation.3
(2.2.4)
где EMBED Equation.3
и EMBED Equation.3
- значения параметра, соответствующие
концам дуги.
Пример 2.2.1. Найти длину дуги полукубической параболы у = x3/2 от ее вершины до точки В(1, 1).
Решение.
Для того, чтобы длину дуги вычислить по
формуле (2.2.1) найдем производную функции
у = x3/2.
Она равна EMBED Equation.3
.
Тогда по формуле (2.2.1) имеем
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
(ед.)
Пример 2.2.2.
Вычислить
длину дуги параболы EMBED Equation.3
от вершины до точки А(1;
EMBED Equation.3
).
Решение. Из
данного уравнения параболы выразим
переменную х:
EMBED Equation.3
,
найдем производную
EMBED Equation.3
.
По условию переменная EMBED Equation.3
изменяется от 0 до EMBED Equation.3
,
следовательно, по формуле (2.2.2) найдем:
EMBED Equation.3
При вычислении
данного определенного интеграла
воспользовались ранее известным
результатом: EMBED Equation.3
.
Пример 2.2.3.
Найти длину дуги гиперболической спирали
EMBED Equation.3
между точками EMBED Equation.3
и EMBED Equation.3
Решение. Гиперболическая спираль, заданная уравнением EMBED Equation.3 , изображена на рис.2.2.1.
SHAPE \* MERGEFORMAT
Р
Разрешим данное
уравнение EMBED Equation.3
относительно EMBED Equation.3
:
EMBED Equation.3
При EMBED Equation.3
радиус-вектор спирали неограниченно
уменьшается и витки спирали неограниченно
приближаются к полюсу. Требуется найти
длину дуги АВ
спирали,
соответствующей значениям полярного
угла от EMBED Equation.3
до EMBED Equation.3
.
Из уравнения
спирали найдем EMBED Equation.3
,
затем для нахождения искомой длины
воспользуемся формулой (2.2.3):
EMBED Equation.3
=
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
(ед.).
Пример 2.2.4.
Вычислить длину астроиды EMBED Equation.3
Решение. Из рис. 2.2.2, на котором изображена астроида, видно, что кривая симметрична относительно осей координат, поэтому можно вычислить ее четвертую часть, расположенную в первом квадранте.
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рис. 2.2.2 - Астроида
EMBED Equation.3
Найдем производные:
EMBED Equation.3
Параметр EMBED Equation.3
изменяется от EMBED Equation.3
до EMBED Equation.3
.
Следовательно, по формуле (2.2.4.) получим:
EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3
.
Таким образом,
искомая длина дуги равна EMBED Equation.3
(ед.)