2.3. Объем тела вращения

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой у = f(x), осью абсцисс и двумя прямыми х = а, х = b (a<b) (рис. 2.3.1), можно найти по формуле:

EMBED Equation.3 . (2.3.1)

x

y

a

b

0

SHAPE \* MERGEFORMAT

Рис. 2.3.1 - Тело вращения вокруг оси Ох

Аналогично, объем тела вращения вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой x = (y), осью координат и двумя прямыми у = с, у = d (c<d) (рис. 2.3.2), можно найти по формуле:

EMBED Equation.3 . (2.3.2)

y

d

с

x

0

Рис. 2.3.2 - Тело вращения вокруг оси Оу

П

0

y

ример 2.3.1. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды EMBED Equation.3 и отрезком 0  x   оси абсцисс.

Решение. Тела, образованное вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды EMBED Equation.3 и отрезком 0  x   оси абсцисс изобразим на рис. 2.3.3

y

x



0

x

Рис. 2.3.3 – Тело вращения

Используя формулу (2.3.1) найдем объем данного тела вращения:

EMBED Equation.3

= EMBED Equation.3 (ед.куб.)

2.4. Задания для самостоятельного контроля усвоения

материала к разделу 2

В заданиях 2.4.1 – 2.4.30 вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

2.4.1. EMBED Equation.3 . 2.4.2. EMBED Equation.3 . 2.4.3. EMBED Equation.3 . 2.4.4. EMBED Equation.3 . 2.4.5. EMBED Equation.3 . 2.4.6. EMBED Equation.3 . 2.4.7. EMBED Equation.3 . 2.4.8. . 2.4.9. EMBED Equation.3 . 2.4.10. EMBED Equation.3 . 2.4.11. EMBED Equation.3 . 2.4.12. EMBED Equation.3 . 2.4.13. EMBED Equation.3 . 2.4.14. EMBED Equation.3 . 2.4.15. EMBED Equation.3 . 2.4.16. EMBED Equation.3 . 2.4.17. EMBED Equation.3 . 2.4.18. EMBED Equation.3 . 2.4.19. EMBED Equation.3 . 2.4.20. EMBED Equation.3 . 2.4.21. EMBED Equation.3 . 2.4.22. EMBED Equation.3 . 2.4.23. EMBED Equation.3 . 2.4.24. EMBED Equation.3 . 2.4.25. EMBED Equation.3 . 2.4.26. EMBED Equation.3 . 2.4.27. EMBED Equation.3 . 2.4.28. EMBED Equation.3 . 2.4.29. EMBED Equation.3 . 2.4.30. EMBED Equation.3 .

В заданиях 2.4.31 – 2.4.60 вычислить длину дуги кривой:

2.4.31. EMBED Equation.3 . 2.4.32. EMBED Equation.3 от вершины до точки М(1;2). 2.4.33. EMBED Equation.3 , между точками, для которых EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 . 2.4.34. EMBED Equation.3 от начала координат до точки А(5;5 EMBED Equation.3 ). 2.4.35. EMBED Equation.3 между точками, для которых EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 . 2.4.36. EMBED Equation.3 . . 2.4.37. EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . 2.4.38. цепной линии EMBED Equation.3 , между точками, для которых EMBED Equation.3 . 2.4.39. EMBED Equation.3 между точками пересечения ее с осью Ох. 2.4.40. EMBED Equation.3 от у = 0 до у = 1. 2.4.41. EMBED Equation.3 , отсеченной прямой х = 4. 2.4.42. EMBED Equation.3 от х = 0 до х = а (0<a< EMBED Equation.3 ). 2.4.43. EMBED Equation.3 между точками пересечения ее с осью Оу. 2.4.44. EMBED Equation.3 между точками пересечения ее с осью Ох. 2.4.45. EMBED Equation.3 . 2.4.46. EMBED Equation.3 . 2.4.47. EMBED Equation.3 . 2.4.48. EMBED Equation.3 на отрезке EMBED Equation.3 . 2.4.49. EMBED Equation.3 . 2.4.50. EMBED Equation.3 . 2.4.51. EMBED Equation.3 . 2.4.52. цепной линии EMBED Equation.3 , между точками, для которых EMBED Equation.3 . 2.4.53. EMBED Equation.3 . 2.4.54. EMBED Equation.3 . 2.4.55. EMBED Equation.3 на отрезке EMBED Equation.3 . 2.4.56. EMBED Equation.3 . 2.4.57. EMBED Equation.3 . 2.4.58. EMBED Equation.3 . 2.4.59. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . 2.4.60. EMBED Equation.3 от точки Р(1; EMBED Equation.3 ) до точки М(2;16).

В заданиях 2.4.61 – 2.4.90 вычислить объем тела вращения плоской фигуры, ограниченной линиями:

2.4.61. . 2.4.62. EMBED Equation.3 . 2.4.63. EMBED Equation.3 . 2.4.64. EMBED Equation.3 . 2.4.65. EMBED Equation.3 . 2.4.66. EMBED Equation.3 . 2.4.67. EMBED Equation.3 . 2.4.68. EMBED Equation.3 . 2.4.69. EMBED Equation.3 . 2.4.70. EMBED Equation.3 . 2.4.71. EMBED Equation.3 . 2.4.72. EMBED Equation.3 . 2.4.73. EMBED Equation.3 . 2.4.74. EMBED Equation.3 . 2.4.75. EMBED Equation.3 . 2.4.76. EMBED Equation.3 . 2.4.77. EMBED Equation.3 . 2.4.78. EMBED Equation.3 . 2.4.79. EMBED Equation.3 . 2.4.80. EMBED Equation.3 . 2.4.81. EMBED Equation.3 . 2.4.82. EMBED Equation.3 . 2.4.83. EMBED Equation.3 . 2.4.84. EMBED Equation.3 . 2.4.85. EMBED Equation.3 . 2.4.86. EMBED Equation.3 . 2.4.87. EMBED Equation.3 . 2.4.88. EMBED Equation.3 . 2.4.89. EMBED Equation.3 . 2.4.90. EMBED Equation.3 .