1.4. Задания для самостоятельного контроля усвоения

материала к разделу 1

Вычислить определенные интегралы:

1.4.1. EMBED Equation.3 . 1.4.2. EMBED Equation.3 1.4.3. EMBED Equation.3 . 1.4.4. EMBED Equation.3 . 1.4.5. EMBED Equation.3 . 1.4.6. EMBED Equation.3 . 1.4.7. EMBED Equation.3 . 1.4.8. EMBED Equation.3 . 1.4.9. EMBED Equation.3 . 1.4.10. EMBED Equation.3 . 1.4.11. EMBED Equation.3 . 1.4.12. EMBED Equation.3 . 1.4.13. EMBED Equation.3 . 1.4.14. EMBED Equation.3 . 1.4.15. EMBED Equation.3 . 1.4.16. EMBED Equation.3 . 1.4.17. EMBED Equation.3 . 1.4.18. EMBED Equation.3 . 1.4.19. EMBED Equation.3 . 1.4.20. EMBED Equation.3 . 1.4.21. EMBED Equation.3 . 1.4.22. EMBED Equation.3 . 1.4.23. EMBED Equation.3 . 1.4.24. EMBED Equation.3 . 1.4.25. EMBED Equation.3 . 1.4.26. EMBED Equation.3 . 1.4.27. EMBED Equation.3 . 1.4.28. EMBED Equation.3 . 1.4.29. EMBED Equation.3 . 1.4.30. EMBED Equation.3 . 1.4.31. EMBED Equation.3 . 1.4.32. EMBED Equation.3 . 1.4.33. EMBED Equation.3 . 1.4.34. EMBED Equation.3 . 1.4.35. EMBED Equation.3 . 1.4.36. EMBED Equation.3 . 1.4.37. EMBED Equation.3 . 1.4.38. EMBED Equation.3 . 1.4.39. EMBED Equation.3 . 1.4.40. EMBED Equation.3 . 1.4.41. EMBED Equation.3 . 1.4.42. EMBED Equation.3 . 1.4.43. EMBED Equation.3 . 1.4.44. EMBED Equation.3 . 1.4.45. EMBED Equation.3 . 1.4.46. EMBED Equation.3 . 1.4.47. EMBED Equation.3 . 1.4.48. EMBED Equation.3 . 1.4.49. EMBED Equation.3 . 1.4.50. EMBED Equation.3 . 1.4.51. EMBED Equation.3 . 1.4.52. EMBED Equation.3 . 1.4.53. EMBED Equation.3 . 1.4.54. EMBED Equation.3 . 1.4.55. EMBED Equation.3 . 1.4.56. EMBED Equation.3 . 1.4.57. EMBED Equation.3 . 1.4.58. EMBED Equation.3 . 1.4.59. EMBED Equation.3 . 1.4.60. EMBED Equation.3 . 1.4.61. EMBED Equation.3 . 1.4.62. EMBED Equation.3 . 1.4.63. EMBED Equation.3 . 1.4.64. EMBED Equation.3 . 1.4.65. EMBED Equation.3 . 1.4.66. EMBED Equation.3 . 1.4.67. EMBED Equation.3 . 1.4.68. EMBED Equation.3 . 1.4.69. EMBED Equation.3 . 1.4.70. EMBED Equation.3 . 1.4.71. EMBED Equation.3 . 1.4.72. EMBED Equation.3 . 1.4.73. EMBED Equation.3 . 1.4.74. EMBED Equation.3 . 1.4.75. EMBED Equation.3 . 1.4.76. EMBED Equation.3 . 1.4.77. EMBED Equation.3 . 1.4.78. EMBED Equation.3 . 1.4.79. EMBED Equation.3 . 1.4.80. EMBED Equation.3 . 1.4.81. EMBED Equation.3 . 1.4.82. EMBED Equation.3 . 1.4.83. EMBED Equation.3 . 1.4.84. EMBED Equation.3 .

1.4.85. EMBED Equation.3 . 1.4.86. EMBED Equation.3 .

2. Приложения определенного интеграла

2.1. Площадь плоской фигуры

Из геометрического смысла определенного интеграла известно, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой у = f(x) (функция у = f(x) неотрицательна), прямыми x = a, x = b и отрезком оси абсцисс a x  b, вычисляется по формуле (1.1.2), т.е.

EMBED Equation.3 . (1.1.2)

Площадь фигуры (рис.2.1.1), ограниченной двумя непрерывными кривыми y = f₁(x) и y = f₂(x) (f₁(x) f₂(x)), прямыми x = a, x = b и отрезком оси абсцисс a x  b, вычисляется по формуле (2.1.1)

EMBED Equation.3 . (2.1.1)

SHAPE \* MERGEFORMAT SHAPE \* MERGEFORMAT

Рисунок 2.1.1 - Плоская фигура

Если функция y = f(x) непрерывная и неположительная на отрезке [a, b] (рис 2.1.2), то определенный интеграл от функции y = f(x) в пределах интегрирования от а до b является отрицательным, т.е.

EMBED Equation.3

. (2.1.2)

у

b

a

0

x

y = f(x)

Рисунок 2.1.2 - Криволинейная трапеция

А

y

a

0

бсолютная величина интеграла (2.1.2) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху отрезком оси абсцисс a x  b, прямыми х = а и х = b, снизу – кривой y = f(x), т.е.

EMBED Equation.3 . (2.1.3)

Если функция y = f(x) непрерывная и не знакопостоянная на отрезке [a, b], то определенный интеграл EMBED Equation.3 численно равен алгебраической сумме площадей криволинейных трапеций, лежащих над и под осью Оx (рис. 2.1.2).

y

y

x

y=f(x)

d

а

c

0

b

SHAPE \* MERGEFORMAT

Рисунок 2.1.3 - Плоская фигура

Т

a

с

d

0

огда

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (2.1.3)

В случае параметрического задания кривой EMBED Equation.3 площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя прямыми EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 и отрезком оси Ох EMBED Equation.3 , можно найти по формуле

EMBED Equation.3 (2.1.4.)

где пределы интегрирования EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 определяются из уравнений EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 , при этом EMBED Equation.3 на отрезке EMBED Equation.3 .

Пример 2.1.1. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной следующими линиями у = x, y = x², х = 2.

Решение. Изобразим на рис. 2.1.4 плоскую фигуру, площадь которой нужно найти.

SHAPE \* MERGEFORMAT

Рисунок 2.1.4 - Плоская фигура

Для того, чтобы определить пределы о

0

трезка интегрирования следует найти абсциссы точек пересечения прямой у = x и параболы y = x². Для этого решим систему уравнений:

EMBED Equation.3

Таким образом, точки с координатами (0, 0) и (1, 1) являются точками пересечения данных прямой у = x и параболы y = x². Значит нижний предел интегрирования равен а = 1.

Поскольку рассматриваемая плоская фигура ограничена справа прямой х = 2, то верхний предел интегрирования равен b =2.

Таким образом, по формуле (2.1.1)

EMBED Equation.3 (ед.кв.)

Пример 2.1.2 Найти площадь фигуры, ограниченной первой аркой циклоиды EMBED Equation.3 и отрезком оси абсцисс.

Решение. Изобразим на рис. 2.1.5 циклоиду, площадь первой арки которой нужно найти. Точкам О и А соответствуют значения параметра EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 .

SHAPE \* MERGEFORMAT

Рисунок 2.1.5 - Циклоида

поэтому по формуле (2.1.4.) искомая площадь

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 (ед.кв.)