Введение

Внедрение кредитно-модульной системы организации учебного процесса предполагает существенное сокращение аудиторного времени, отводимого для проведения лекций и практических занятий. При этом возникают сложности в полноте охвата студентами всего учебного материала, что является основой сохранения аналитической взаимосвязи различных разделов курса высшей математики. Качественное усвоение математических понятий требует всестороннего самостоятельного осмысления материала, при этом единственным эффективным способом изучения математики является решение задач. А это, в свою очередь, приводит к повышению роли самостоятельной работы студентов в процессе обучения в высшей школе, в частности при изучении курса высшей математики.

В рамках КМСОУП курс высшей математики разбит на четыре содержательных модуля, одним из которых является модуль “Определенный и несобственный интегралы”, материал которого изложен в данной разработке.

Цель данной разработки - оказать помощь студентам при изучении теоретического материала, формировании навыков в использовании математических знаний и умений.

В учебном пособии содержится теоретический материал модуля “Определенный и несобственный интегралы” курса “Высшей математики”, примеры решения типовых задач, задания для самостоятельного решения, индивидуальные тестовые задания.

Дадим некоторые советы, которые будут полезны при самостоятельной работе:

	прочитать теоретический материал и разобрать решение типовых задач;
	изучив материал, попытайтесь самостоятельно повторить доказательство теорем и решение типовых примеров;
	решите задания для самостоятельного решения;
	проверьте свое решение, сравнив результат с ответами;
	если ответы не совпадают или решение задач вызвало затруднение, вернитесь к теоретическому материалу.

Тестовые задания по модулю “Определенный и несобственный интегралы” содержат 60 вариантов. 30 вариантов – задания для самостоятельного контроля усвоения материала (дан один правильный ответ) и 30 вариантов – контрольные задания с выборочными тестовыми ответами.

Студент выполняет задания того варианта, номер которого совпадает с порядковым номером его фамилии в списке журнала академической группы. Выполнение не своего варианта не засчитывается.

1. Определенный интеграл и его свойства

1.1. Понятие определенного интеграла

Пусть на отрезке [a, b] оси Ох задана непрерывная функция y = f(x). Требуется найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x = a, x = b и отрезком оси абсцисс a x  b, которая изображена на рис. 1.1. Разобьем отрезок [a, b] на n частей точками x₀ = а, x₁, x₂, …., x_n = b. На каждом из элементарных отрезков деления [x₀, x₁], [x₁, x₂], …, [x_n-1, x_n] выберем произвольные точки ₁, ₂, ... _n.

Рисунок 1.1 – Криволинейная трапеция

С

0

оставим произведение значений функции f(x) в выбранных точках на длины соответствующих отрезков деления: …, . Составим сумму таких произведений

, (1.1.1)

где .

Сумма (1.1.1) называется интегральной суммой функции f(x) на отрезке [a, b]. Она зависит от способа разбиения отрезка [a, b] на элементарные отрезки [x_i, x_i+1] и от выбора точек _i . Для функции f(x) на отрезке [a, b] можно составить бесчисленное множество интегральных сумм. Наибольшая из длин отрезков деления отрезка [a, b] на части называется шагом разбиения.

Определенным интегралом функции f(x) в пределах от а до b называется предел интегральной суммы (1.1.1) при условии, что число частичных отрезков неограниченно увеличивается, а длина наибольшего из них (шаг разбиения)

стремится к нулю, и обозначается символом , т.е.

. (1.1.2)

В формуле (1.1.2) числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, отрезок [a, b] – промежутком интегрирования; функция f(x) – подынтегральной функцией; выражение f(x)dx – подынтегральным выражением; х – переменной интегрирования.

Геометрический смысл определенного интеграла.

Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция у = f(x) неотрицательна на отрезке , где , численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f(x), прямыми x = a, x = b и отрезком оси абсцисс a x  b, т.е.

. (1.1.3)

Экономический смысл определенного интеграла.

Пусть функция у = f(t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Найдем объем продукции U, произведенный за промежуток времени .

Если производительность не изменяется с течением времени (f(t) - постоянная функция), то объем продукции , произведенной за некоторый промежуток времени , задается формулой . В общем случае справедливо приближенное равенство , где , которое оказывается тем более точным, чем меньше .

Разобьем отрезок на промежутки времени точками 0 = t₀ < t₁ < t₂ ….< t_n =T. Для величины объема продукции , произведенной за некоторый промежуток времени , имеем , где , , . Тогда . При стремлении к нулю каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому

(1.1.4)

Учитывая определение определенного интеграла и формулу (1.1.4) окончательно получаем

. (1.1.5)

Из формулы (1.1.5) следует: объем продукции U, произведенный за промежуток времени равен определенному интегралу от производительности труда в момент времени t. Это и есть экономический смысл определенного интеграла.

Теорема (достаточное условие существования определенного интеграла)

Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Существование предела (1.1.1) для непрерывных функций обозначает его независимость от способов разбиения отрезка на элементарные отрезки и от выбора в каждом из них точек _i .