5. 5. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку. Метод варіації довільних сталих

Лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку має вигляд

. (8.28)

Знання якого-небудь частинного розв'язку рівняння (8.28) дозволяє звести задачу про розв'язання цього рівняння до задачі про розв'язання відповідного однорідного рівняння (8.21).

Теорема 8.5. Загальний розв'язок рівняння (8.28) є сумою якого-небудь частинного розв'язку і загального розв'язку відповідного йому однорідного рівняння: .

Дійсно, якщо – загальний розв'язок однорідного рівняння, відповідного даному, то . Якщо – частинний розв'язок неоднорідного рівняння (8.28), то . Покажемо що задовольняє рівняння (8.28). Для цього обчислимо першу і другу похідні від і підставляючи в рівняння (8.28), одержуємо

Якщо відомо загальний розв'язок однорідного рівняння (8.21), то загальний розв'язок рівняння (8.28) можна обчислити за допомогою так званого методу варіації довільних сталих, запропонованого Лагранжем.

Як знаємо, загальний розв'язок рівняння (8.21) має вигляд .

Припустимо, що загальний розв'язок рівняння (8.28) має такий же вигляд, але і – деякі невідомі функції, тобто

. (8.29)

Підберемо функції і так, щоб вираз (8.29) задовольняв рівняння (8.28).

Диференціюючи рівність (8.29), одержуємо

.

Будемо вимагати, щоб

. (8.30)

Тоді перша похідна приймає вигляд

і .

Підставляючи в рівняння (8.28) знайдені за умов (8.30) значення і , після перетворень одержуємо

.

Оскільки функції і задовольняють рівняння (8.21), то в останньому рівнянні перші дві дужки дорівнюють нулю і рівняння матиме вигляд

. (8.31)

Отже, для знаходження функцій і одержали два рівняння (8.30) і (8.31).

Оскільки функції , , відомі, то маємо систему двох лінійних рівнянь першого степеня з двома невідомими і :

(8.32)

Зазначимо, що така система має єдиний розв'язок, тому що її визначник є визначником Вронського, який для лінійно незалежних функцій і не перетворюється в нуль при будь-яких .

Розв’язуючи систему, знайдемо , , звідки

,

,

де , – довільні сталі.

Загальний розв'язок рівняння (8.28) приймає вигляд

, (8.33)

причому функція є його частинним розв'язком.

Зазначимо, що метод варіації довільних сталих завжди приводить до розв'язку, але часто буває громіздким через складні інтеграли, за допомогою яких обчислюються функції і .

Приклад 6.13. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння .

Розв’язання. Однорідне диференціальне рівняння, що відповідає заданому неоднорідному має вигляд . Його характеристичне рівняння має корені , яким відповідають частинні розв'язки , .

Знайдемо загальний розв'язок заданого рівняння у вигляді

.

Система (8.32) для даного рівняння приймає вигляд

Розв’язуючи систему, одержимо . Знайдемо

,

Загальний розв'язок рівняння

або після перетворень .

Тут – загальний розв'язок однорідного диференціального рівняння, що відповідає заданому, – його частинний розв'язок.

6. 6. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами

Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами

. (8.34)

Відповідно до теореми (8.5) загальний розв'язок такого рівняння дорівнює сумі загального розв'язку відповідного йому однорідного рівняння і якого-небудь частинного розв'язку неоднорідного рівняння.

Оскільки відповідне однорідне рівняння завжди розв’язується, то нам залишається лише знайти який-небудь частинний розв'язок даного рівняння.

Для довільної функції це робиться за методом варіації довільних сталих і частинний розв'язок має вигляд (8.33).

Але для досить широкого класу функцій правої частини рівняння частинний розв'язок можна знайти простіше за методом невизначених коефіцієнтів.

Метод застосовується для функцій вигляду

,

де і – многочлени відповідно порядків і :

;

Дана функція містить у собі декілька більш простих частинних випадків.

Наприклад:

при функція приймає вигляд ;

при , – ;

при , – ;

при – ;

при , – .

Метод заснований на тому, що частинний розв'язок рівняння (8.34) має вигляд правої частини рівняння.

Теорема 8.6. Якщо число , складене за правою частиною рівняння ( – коефіцієнт показника показникової функції, – коефіцієнт аргументу тригонометричної функції) не є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв'язок рівняння (8.34) має вигляд

, (8.35)

де – многочлени з невизначеними коефіцієнтами порядку .

Якщо ж число є коренем характеристичного рівняння один раз, то частинний розв'язок рівняння (8.34) запишеться так:

. (8.36)

Якщо ж число є коренем характеристичного рівняння два рази, то частинний розв'язок рівняння (8.34) має вигляд

. (8.37)

Доведемо цю теорему для випадку, коли . Для такої функції .

Нехай частинний розв'язок рівняння

(8.38)

має вигляд , де – многочлен з невизначеними коефіцієнтами порядку . Перевіримо, чи задовольняє така функція рівняння (8.38). Знайдемо , :

;

.

Підставимо в рівняння (8.38) і поділимо всі його члени на функцію , яка ні при яких значеннях аргументу x не перетворюється на нуль. Групуючи доданки за , , , одержимо

. (8.39)

Вираз (8.39) є рівністю двох многочленів.

Підібрати коефіцієнти многочлена так, щоб рівність була правильною можна лише у випадку, якщо порядки багаточленів рівні, тобто число , що свідчить про те, що не корінь характеристичного рівняння .

Якщо ж , а (число є не кратним коренем характеристичного рівняння), рівність (8.39) буде правильною, якщо підставити в рівняння (8.38) такий багаточлен, що після диференціювання перетворився б у багаточлен порядку , тобто .

Якщо ж , тобто (число є коренем характеристичного рівняння два рази), рівність (8.38) буде правильною, якщо підставити в рівняння (8.38) такий многочлен, що після диференціювання двічі перетворився б у многочлен порядку , тобто . Значення коефіцієнтів многочлена можна підібрати, порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях аргументу лівої і правої частини рівності (8.39).

Аналогічно можна довести справедливість теореми (8.6) для інших окремих випадків функції .

Приклад 8.14. Знайти загальний розв'язок рівняння

.

Розв’язання. Загальний розв'язок рівняння має вигляд , де – загальний розв'язок рівняння однорідного, відповідного даному, – частинний розв'язок даного рівняння.

Однорідне рівняння, що відповідає даному, має вигляд

.

Його характеристичне рівняння має корені , (дійсні і різні), тому загальний розв'язок однорідного рівняння .

Функція правої частини рівняння – добуток многочлена першого порядку на показникову функцію. Тоді

Підберемо коефіцієнти і так, щоб задовольняло рівняння. Обчислимо :

;

.

Підставимо в диференціальне рівняння, поділимо його члени на і спростимо, тоді одержимо:

.

Порівнюючи коефіцієнти при x і вільні члени лівої і правої частин рівняння, отримаємо систему:

Звідки

Отже, частинний розв'язок даного рівняння має вигляд , а його загальний розв'язок

Приклад 8.15. Знайти частинний розв'язок рівняння якщо .

Розв’язання. Однорідне рівняння, що відповідає заданому, має вигляд . Його характеристичне рівняння має корені , (дійсні і різні), тому Функція правої частини рівняння Для неї число . Серед коренів характеристичного рівняння числа немає, тому частинний розв'язок рівняння має вигляд правої частини: .

Підберемо коефіцієнти так, щоб функція задовольняла рівняння. Обчислимо похідні частинного розв'язку і підставимо їх у задане рівняння

; .

Тоді .

Прирівняємо коефіцієнти при однакових функціях у лівій та правій частині рівності:

Розв’язуючи систему цих рівнянь, знаходимо, що, . Частинний розв'язок рівняння має вигляд

.

Загальний розв'язок рівняння буде

.

Похідна загального розв'язку запишеться так

.

Підставимо в загальний розв'язок та його похідну початкові умови при , , .

Одержимо систему рівнянь

Звідки , .

Частинний розв'язок рівняння, що задовольняє зазначені початкові умови, має вигляд

.