Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Запорожский национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Part_1.doc

Скачиваний:

Добавлен:

25.08.2019

Размер:

5.17 Mб

Скачать

☆

1 / 161 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

ЗАПОРІЗЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

В.О. Толок

В.В. Киричевський

О.О. Тітова

МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ

д л я е к о н о м і с т і в

Рекомендовано

Міністерством освіти

і науки України

як навчальний посібник

для студентів

вищих навчальних закладів

Запоріжжя 2008

УДК 517 (075.8)

ББК В17я73

Т525

Рецензенти:

Доктор фізико-математичних наук, професор, ректор Запорізької державної інженерної академії

В.І. Пожуєв

Доктор технічних наук, професор, проректор з наукової роботи Запорізького національного технічного університету

Ю.М. Внуков

Доктор економічних наук, професор, завідувач кафедри економічної кібернетики та статистики Класичного Приватного Університету

Л.Н. Сергєєва

Толок В.О., Киричевський В.В., Тітова О.О.

Т525 Математичний аналіз для економістів: навч. посіб. для студентів вищих навч. закл. – Запоріжжя: ЗНУ, 2008. – 272 с.

ISBN

Розглянуто питання теорії множин, послідовностей, диференціального та інтегрального числення функцій однієї та багатьох змінних, теорії рядів, диференціальних рівнянь. Багато уваги приділено вправам економічного змісту.

Для педагогів і студентів економічних спеціальностей університетів.

УДК 517 (075.8)

ББК В17я73

ISBN

ЗМІСТ

Передмова............................................................................................................	6
Розділ 1.Теорія множин....................................................................................	7
§ 1. Поняття множини.........................................................................................	7
§ 2.Найпростіші операції над множинами........................................................	8
§ 3. Числові множини..........................................................................................	8
§ 4. Обмежені множини. Верхні та нижні грані множин................................	10
§ 5. Поняття функції (відображення)................................................................	10
§ 6. Еквівалентні множини. Потужність множин............................................	11
§ 7. Потужність континуума..............................................................................	12
Вправи..................................................................................................................	12
Розділ 2. Послідовності. Функції однієї змінної...........................................	14
§ 1. Числові послідовності..................................................................................	14
§ 2. Границя послідовності.................................................................................	15
§ 3. Застосування послідовностей в економіці.................................................	18
§ 4. Поняття функції............................................................................................	19
§ 5. Способи задання функції.............................................................................	20
§ 6. Деякі властивості функцій...........................................................................	22
§ 7. Функція, обернена до даної.........................................................................	23
§ 8. Класифікація функцій..................................................................................	24
§ 9. Основні методи побудови графіків функцій.............................................	29
§ 10. Приклади застосування функцій в економіці..........................................	31
§ 11. Границя функції..........................................................................................	34
§ 12. Нескінченно малі і нескінченно великі функції......................................	35
§ 13. Основні теореми про границі функцій.....................................................	37
§ 14. Обчислення границь функцій...................................................................	39
§ 15. Істотні границі............................................................................................	41
§ 16. Порівняння нескінченно малих.................................................................	43
§ 17. Неперервність функції в точці...................................................................	44
§ 18. Властивості функцій, неперервних в точці.............................................	45
§ 19. Точки розриву і їхня класифікація............................................................	46
§ 20. Властивості функцій, неперервних на відрізку.......................................	47
Вправи..................................................................................................................	48
Розділ 3. Диференціальне числення функції однієї змінної.......................	57
1. Задачі, що приводять до поняття похідної функції..................................	57
2. Поняття похідної..........................................................................................	58
3. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної і нормалі до кривої........................................................................................	59
4. Диференційованість функції в точці.Диференціал..................................	61
5. Похідні елементарних функцій..................................................................	62
6. Основні правила диференціювання...........................................................	62
7. Похідна складної функції...........................................................................	64
8. Логарифмічне диференціювання. Похідна степеневої, показникової, показниково-степеневої функцій.....................................	64
9. Похідна оберненої функції. Похідні обернених тригонометричних функцій......................................................................	66
10. Таблиця похідних......................................................................................	67
11. Похідна неявно заданої функції..............................................................	67
12. Похідна функції, заданої параметрично.................................................	68
13. Похідні вищих порядків...........................................................................	68
14. Наближені обчислення за допомогою похідної.....................................	69
15. Еластичність функції................................................................................	70
16. Застосування еластичності в економічному аналізі..............................	73
17. Основні теореми диференціального числення.......................................	76
18. Правило Лопіталя......................................................................................	77
19. Зростання і спадання функції на проміжку............................................	80
20. Екстремуми функції..................................................................................	82
21. Найбільше і найменше значення функції на відрізку…………………	85
22. Випуклість, увігнутість графіка функції. Перегин................................	86
23. Асимптоти графіка функції.....................................................................	89
24. Повне дослідження і побудова графіка функції....................................	91
25. Застосування похідної в економіці.........................................................	93
Вправи..................................................................................................................	98
Розділ 4. Диференціальне числення функції багатьох змінних…………	105
1. Основні поняття...........................................................................................	105
2. Границя і неперервність..............................................................................	106
3. Частинні похідні функції............................................................................	107
4. Повний диференціал...................................................................................	108
5. Похідна функції за даним напрямком. Градієнт......................................	109
6. Частинні похідні і диференціали вищих порядків...................................	111
7. Локальний екстремум функції багатьох змінних....................................	112
8. Неявно задані функції................................................................................	114
9. Умовний екстремум....................................................................................	115
10. Найбільше і найменше значення функції в області..............................	116
11. Метод найменших квадратів...................................................................	117
12. Економічні задачі......................................................................................	119
Вправи..................................................................................................................	122
Розділ 5. Інтегральне числення функції однієї змінної..............................	126
1. Первісна і невизначений інтеграл.............................................................	126
2. Основні властивості невизначеного інтеграла.........................................	127
3. Таблиця невизначених інтегралів..............................................................	128
4. Основні методи інтегрування.....................................................................	129
5. Поняття визначеного інтегралу..................................................................	143
6. Геометричний зміст визначеного інтеграла..............................................	144
7. Економічний зміст визначеного інтеграла................................................	145
8. Властивості визначеного інтеграла...........................................................	145
9. Формула Ньютона–Лейбніца.....................................................................	149
10. Заміна змінної у визначеному інтегралі.................................................	150
11. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі.................................	151
12. Невласні інтеграли....................................................................................	152
13. Наближене обчислення визначених інтегралів......................................	155
14. Застосування інтеграла в геометричних задачах...................................	159
15. Застосування інтеграла в задачах економіки………….........................	162
Вправи..................................................................................................................	170
Розділ 6. Інтегральне числення функцій багатьох змінних......................	176
1. Об'єм циліндричного тіла...........................................................................	176
2. Означення подвійного інтеграла................................................................	177
3. Властивості подвійного інтеграла..............................................................	178
4. Обчислення подвійного інтеграла.............................................................	180
5. Застосування подвійного інтеграла в геометрії........................................	184
6. Застосування подвійного інтеграла у фізиці.............................................	187
7. Поняття про потрійний інтеграл................................................................	189
8. Заміна змінних в потрійному інтегралі.....................................................	192
9. Застосування потрійного інтеграла у фізиці............................................	193
Вправи..................................................................................................................	194
Розділ 7. Ряди......................................................................................................	197
1. Числові ряди. Основні поняття..................................................................	197
2. Властивості числових рядів........................................................................	198
3. Необхідна ознака збіжності ряду...............................................................	199
4. Достатні ознаки збіжності знакопостійних рядів.....................................	200
5. Знакопочережні числові ряди. Ознака Лейбніца.....................................	207
6. Знакозмінні числові ряди............................................................................	209
7. Функціональні ряди. Основні поняття......................................................	210
8. Область збіжності степеневого ряду.........................................................	212
9. Ряди Тейлора і Маклорена..........................................................................	216
10. Розвинення функцій в ряд Маклорена.....................................................	218
11. Застосування степеневих рядів................................................................	220
12. Динамічні ряди...........................................................................................	222
Вправи...................................................................................................................	223
Розділ 8.Диференціальні рівняння.................................................................	227
1. Економічні задачі, що приводять до диференціальних рівнянь. Основні означення.......................................................................	227
2. Диференціальні рівняння першого порядку.............................................	228
3. Диференціальні рівняння другого порядку...............................................	237
4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами............................................................	243
5. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку. Метод варіації довільних сталих...............................................	246
6. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами............................................................	248
7. Системи диференціальних рівнянь............................................................	251
8. Задачі економічної динаміки......................................................................	255
Вправи...................................................................................................................	258
Відповіді до вправ..............................................................................................	262
Список літератури............................................................................................	271

ПЕРЕДМОВА

Математичний аналіз – самостійна математична наука, яка є теоретичною основою викладання багатьох економічних, соціологічних та спеціальних дисциплін, вина використовується в багатьох галузях науки та техніки, а також розумними бізнесменами та керівниками різного рівня.

Тому математичний аналіз становить обов’язкову частину математичного циклу дисциплін усіх економічних вищих навчальних закладів, зокрема, спеціальності „Економічна кібернетика”.

Більшість наявних підручників з математичного аналізу призначено для студентів вищих технічних навчальних закладів або математичних та фізичних спеціальностей університетів. Вони розраховані на досить велику кількість учбових годин та високий рівень знань та навичок студентів не тільки з елементарної математики, але й вищої алгебри та геометрії.

Мета цього навчального посібника – ознайомити студентів економічних вищих навчальних закладів, а також усіх зацікавлених фахівців з основними поняттями, методами, теоремами та формулами математичного аналізу, допомогти їм набути первинні навички застосування теоретичного матеріалу в багатьох випадках.

Посібник розроблено відповідно типової учбової програми дисципліни „Математичний аналіз”, затвердженої Міністерством освіти і науки України для спеціальності „Економічна кібернетика” вищих навчальних закладів. Він містить багато розв’язаних прикладів, завдань для самостійної роботи студентів та поточного контролю якості одержаних знань та навичок.

Розподіл матеріалу на розділи та параграфи дозволяє виділити головне, зосереджує на ньому увагу читача.

Автори звертають увагу читача на те, що вивчати матеріал цього посібника треба послідовно з обов’язковим розв’язуванням задач: вправи доцільно виконувати після ознайомлення з теоретичним матеріалом та прикладами, наведеними у навчальному посібнику.

Автори впевнені, що посібник буде корисним не тільки студентам вищих навчальних закладів економічних спеціальностей стаціонарної та заочної форм навчання, але й фінансистам, керівникам різного рівня, бізнесменам, співробітникам податкової інспекції, страхових компаній тощо.

Розділ 1. Теорія множин

1. Поняття множини

З кінця 19 століття до початку 20 століття найбільш універсальною мовою математики стала мова теорії множин. Це проявилось навіть в одному з означень математики, як науки, що вивчає різні структури (відношення) на множинах.

„Під множиною ми розуміємо об’єднання в одне ціле певних об’єктів нашої інтуїції або нашої думки” – так визначив поняття „множина” Георг Кантор (G. Cantor), засновник теорії множин. Основні твердження канторовської теорії наступні:

множина може складатись із будь-яких об’єктів що різняться між собою;
множина однозначно визначається набором об’єктів з яких складається;
будь-яка властивість визначає множину об’єктів, які мають цю властивість.

В сучасній математиці множину визначають наступним чином.

Означення 1.1. Множина – це математичний об’єкт, який має певний набір властивостей.

Якщо – об’єкт, – властивість, – позначення того, що – має властивість , то через позначають весь клас об’єктів, які мають властивість . Об’єкти, які складають клас або множину називають елементами класу або множини.

Будемо позначати множини великими літерами латинського алфавіту, а елементи множини – відповідними малими літерами.

Твердження „ є елементом множини ” коротко пишуть: , а протилежне твердження: .

Для запису математичних тверджень часто використовують логічні оператори („існує” або „знайдеться”) і („будь-який” або „для будь-якого”), які називають кванторами існування та загальності відповідно.

Наприклад, запис означає, що для будь-якого об’єкту співвідношення і рівносильні. Оскільки множина визначається своїми елементами, то розглянуте твердження можна позначити коротко , тобто „ дорівнює ”, тобто множини співпадають. Таким чином, дві множини рівні, якщо вони складаються з одних і тих самих елементів. Протилежне твердження записують наступним чином:

Я кщо будь-який елемент множини є елементом множини , то пишуть: або і кажуть, що множина є підмножиною множини , або що включає в себе (рис. 1.1).

Враховуючи означення підмножини, можна записати, що , де означає „і”.

Якщо множина не має елементів, то її називають пустою множиною і позначають .

2. Найпростіші операції над множинами

Нехай і підмножини множини .

Означення 1.2. Об’єднанням множин і називається множина , яка складається з тих і тільки тих елементів множини , які є елементами хоча б однієї з множин або (рис. 1.2). Знак означає „або”.

Означення 1.3. Перетином множин і називається множина , яка складається з тих і тільки тих елементів множини , які належать одночасно множинам і (рис. 1.3).

Означення 1.4. Різницею множин і називається множина , яка складається з тих елементів множини , які не належать множині (рис. 1.4).

Означення 1.5. Різниця між множиною і підмножиною називається доповненням до множини і позначається: або (рис. 1.5).

Наведемо деякі властивості операцій над множинами:

;
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Означення 1.6. Нехай та – довільні множини. Множина , утворена з усіх впорядкованих пар , перший елемент яких є елементом , а другий – елементом , називається прямим або декартовим добутком множин та .

Із означення декартового добутку випливає, що . Рівність має місце лише коли . В останньому випадку замість пишуть .

1 / 161 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.08.2019194.56 Кб4OVS_090.doc
#
31.08.2019812.54 Кб4OVS_110.doc
#
31.08.2019114.18 Кб3OVS_120.doc
#
31.08.2019155.65 Кб4OVS_130.doc
#
14.11.2019205.31 Кб59Papa, Charly hat gesagt (Langenscheidt).doc
#
25.08.20195.17 Mб11Part_1.doc
#
25.08.20194.12 Mб22Part_2.doc
#
25.08.20195.58 Mб11Part_3.doc
#
25.08.20194.23 Mб9Part_4.doc
#
25.08.20194.52 Mб13Part_5.doc
#
24.11.2019103.94 Кб3Passive.doc

Розділ 1. Теорія множин

1. Поняття множини

2. Найпростіші операції над множинами