Розділ 3. Диференціальне числення функції однієї змінної
1. Задачі, що приводять до поняття похідної функції
Базовою задачею економічного аналізу є вивчення зв’язків економічних величин, записаних у вигляді функцій. В економіці дуже часто потрібно знайти найкраще оптимальне значення того чи іншого показника: найвищу продуктивність праці, максимальний прибуток чи мінімальні витрати і т.п. Кожен показник є функцією одного чи декількох аргументів. Наприклад, випуск можна розглядати як функцію витрат праці і капіталу. Таким чином, знаходження оптимального значення показника зводиться до знаходження екстремуму (максимуму чи мінімуму) функції однієї або багатьох змінних. Подібні задачі породжують клас екстремальних задач в економіці, розв'язання яких вимагає використання методів диференціального числення. Найчастіше в економіці приходиться розв’язувати задачі на екстремум функцій багатьох змінних, оскільки економічні показники звичайно залежать від багатьох чинників. Такі задачі добре вивчені теорією функцій багатьох змінних.
Багато задач містять у собі не тільки максимізуючу (мінімізуючу) функцію, але й обмеження (наприклад, бюджетне обмеження в задачі споживчого вибору). Це – задачі математичного програмування, для розв'язання яких розроблено спеціальні методи, що спираються на диференціальне числення.
Важливий розділ методів диференціального числення, що використовуються в економіці, називається методами граничного аналізу. Отже, граничний аналіз в економіці – це сукупність прийомів дослідження величин, що змінюються, наприклад, витрат, або прибуток при змінах об'ємів виробництва чи споживання і т.п. на основі аналізу їхніх граничних значень.
Приклад
3.1.
Задача
про продуктивність праці.
Нехай функція
виражає кількість зробленої продукції
за час
і необхідно знайти продуктивність праці
в момент
.
Розв’язання.
Очевидно, за період часу від
до
кількість зробленої продукції зміниться
від значення
до значення
.
Тоді середня продуктивність праці за
цей період
.
Продуктивність праці в момент
можна визначити як граничне значення
середньої продуктивності за період
часу від
до
при
,
тобто
.
Приклад 3.2. В практиці економічних досліджень широке застосування одержали виробничі функції, що використовуються для встановлення залежностей, наприклад, випуску продукції від витрат ресурсів, витрат виробництва від об'єму продукції, виторгу від продажу товару і т.п. У припущенні диференційованості виробничих функцій важливого значення набувають їхні диференціальні характеристики, пов'язані з поняттям похідної.
Розв’язання. Розглянемо деякі типи виробничих функцій.
1). Нехай виробнича
функція
– функція витрат виробництва, що залежить
від кількості продукції
.
Припустимо, що
кількість продукції збільшується на
.
Кількості продукції
відповідають витрати виробництва
.
Отже, збільшенню кількості продукції
відповідає приріст витрат виробництва
продукції
.
Середній приріст
витрат виробництва є
.
Це приріст витрат виробництва на одиницю
збільшення кількості продукції.
Граничними витратами виробництва називається границя
.
Граничні витрати виробництва збігаються зі швидкістю зміни витрат виробництва. Їх величина характеризує приблизно додаткові витрати на виробництво одиниці додаткової продукції.
2). Нехай
– виторг від продажу
одиниць товару. Граничним
виторгом
називається границя
.
3). Нехай виробнича
функція
встановлює залежність випуску продукції
від витрат ресурсу
.
Граничним
продуктом
називається границя
.
За допомогою похідної можна обчислити приріст залежної змінної, що відповідає приросту незалежної змінної.