Розділ 8. Диференціальні рівняння
1. Економічні задачі, що приводять до диференціальних рівнянь. Основні означення
Розглянемо
декілька прикладів.
Нехай швидкість
знецінювання устаткування
внаслідок його зносу пропорційна в
кожен даний момент часу його фактичній
вартості. Початкова вартість –
.
Поставимо питання: якою буде вартість
устаткування після
років?
Введемо
позначення.
Нехай
– вартість устаткування в момент
.
Зміна вартості (знецінювання) виражається
різницею
.
Швидкість знецінювання тоді буде
похідною за часом, тобто
,
і вона пропорційна фактичній вартості
в даний момент
.
Одержуємо рівняння
з початковою умовою
.
Розв’язавши таке рівняння, одержимо відповідь на питання даної задачі.
Розглянемо інший
приклад.
Нехай
– кількість продукції, що випускається
галуззю за час
;
– ціна продукції. Сума інвестицій
(засобів, спрямованих на розширення
виробництва)
пропорційна доходові
з коефіцієнтом пропорційності
(
,
).
Збільшення швидкості випуску продукції
пропорційно збільшенню інвестицій з
коефіцієнтом пропорційності
.
Потрібно знайти кількість продукції,
що випускається галуззю за час
,
якщо в початковий момент часу
.
Відповідно до
умови задачу можна сформулювати наступним
чином. Запишемо інвестиції в вигляді:
.
Тоді
,
або
.
Позначимо
.
Тоді рівняння набуде вигляду
,
розв’язавши його одержимо відповідь
на питання задачі.
Нехай торговими
установами реалізується продукція,
про яку в момент часу
з числа потенційних покупців
знає лише
покупців. Після проведення рекламних
оголошень швидкість зміни числа знаючих
про продукцію покупців пропорційна як
числу знаючих про товар покупців, так
і числу покупців, що про нього ще не
знають. Відомо, що в початковий момент
часу
про товар довідалося
осіб (час відраховується після рекламних
оголошень);
– задане число. Знайти закон зміни в
залежності від часу числа
покупців, що знають про продукцію.
Відповідно до
умови, рівняння для визначення
має вигляд
,
де
– швидкість зміни числа знаючих про
товар покупців;
– число знаючих про товар; (
)
– число не знаючих про товар у момент
часу
;
– додатній коефіцієнт пропорційності.
Початкова умова:
.
Будемо вивчати звичайні диференціальні рівняння, тобто такі, у яких шукана функція є функцією однієї змінної.
Означення
8.1. Звичайним
диференціальним рівнянням
-го
порядку називається рівняння, що пов'язує
незалежну змінну
,
шукану функцію
і її похідні
,
,
...,
:
.
(8.1)
При цьому функція
може явно не містити у собі
,
,
,
,...,
,
але обов'язково повинна містити –
.
Порядком диференціального рівняння будемо називати порядок найвищої похідної, що входить у нього.
Так, наприклад,
рівняння
,
,
є диференціальними рівняннями першого
порядку, а рівняння
є диференціальним рівнянням другого
порядку.
Означення
8.2. Розв'язком
диференціального рівняння називається
усяка функція
,
що задовольняє його.
Наприклад, функція
є розв'язком рівняння
,
тому що
,
і, підставляючи
та
у рівняння, одержуємо
,
що вірно для будь-якого
.
Розв'язок диференціального рівняння називають інтегралом цього рівняння.