4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
Розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку
,
(8.24)
де
і
– деякі числа.
Теорема
8.3. Частинний
розв'язок диференціального рівняння
(8.24) має вигляд
,
де число
– корінь рівняння
.
Доведення.
Покажемо, що функція
за зазначених умов задовольняє рівняння
(8.24). Для даної функції
,
.
Підставивши у рівняння (8.24), одержимо
.
Отриманий вираз може мати нульове значення тільки при , що вказує на те, що число є коренем квадратного рівняння, яке будемо називати характеристичним.
Всі коефіцієнти характеристичного рівняння є відповідними коефіцієнтами диференціального рівняння.
Теорема 8.4. Якщо корені характеристичного рівняння:
1) дійсні і різні
,
то загальний розв'язок рівняння (8.24) має
вигляд
;
(8.25)
2) дійсні і рівні
,
то загальний розв'язок рівняння (8.24) має
вигляд
;
(8.26)
3) комплексно
спряжені (
,
,
),
то загальний розв'язок рівняння (8.24) має
вигляд
.
(8.27)
1.
Нехай корені характеристичного рівняння
дійсні і різні:
.
Тоді за теоремою (8.3) частинними розв'язками
диференціального рівняння (8.24) є функції
,
.
Ці розв'язки лінійно незалежні, оскільки
.
Отже, згідно з теоремою (8.2) можна сконструювати загальний розв'язок диференціального рівняння (8.24)
.
2.
Нехай корені характеристичного рівняння
дійсні і рівні (
),
що можливо, якщо дискримінант квадратного
рівняння
.
При цьому, розв’язуючи характеристичне
рівняння, одержуємо
.
За теоремою (8.3)
один частинний розв'язок рівняння має
вигляд
.
Інший частинний розв'язок повинен бути
лінійно незалежним від першого. Покажемо,
що таким розв'язком може бути функція
.
Покажемо, що вона задовольняє рівняння
(8.24).
Знайдемо першу і другу похідні цієї функції
,
.
Підставимо
,
,
,
у диференціальне рівняння (8.24) і після
перетворень одержимо
,
оскільки за умовою дискримінант
характеристичного рівняння
.
Отже, функція
є частинним розв'язком рівняння (8.24).
Так загальний розв'язок рівняння (8.24)
має вигляд
.
3.
Нехай корені характеристичного рівняння
комплексно спряжені:
де
.
Тоді за теоремою (8.3) частинні розв'язки
рівняння (8.24)
.
Застосовуючи
формулу Ейлера, вираз
запишемо у вигляді
.
При цьому частинні розв'язки рівняння
(8.24) приймають вигляд
або
.
Отримані функції
є частинними розв'язками рівняння
(8.24), але містять у собі уявну одиницю
.
Неважко показати, що якщо функція
є розв'язком рівняння (8.24), то окремо
функції
і
також є його розв'язками. Тому приймемо
за перший частинний розв'язок функцію
,
за другий частинний розв'язок
.
Очевидно, що ці функції лінійно незалежні,
тому в такому випадку загальний розв'язок
рівняння (8.24) має вигляд
або
.
Приклад
8.10. Знайти
частинний розв'язок рівняння
,
якщо відомо, що
,
.
Розв’язання.
Тут характеристичне рівняння має вигляд
і його корені
,
дійсні і різні, тому, застосовуючи
формулу (8.25) загальний розв'язок рівняння
запишемо у вигляді
.
Після диференціювання загального розв'язку, одержимо
.
Підставляючи в
початкові умови
,
,
,
одержимо систему рівнянь
Звідки знайдемо,
що
,
.
Отже, частинний
розв'язок, що задовольняє зазначеним
початковим умовам, має вигляд
.
Приклад
8.11. Знайти
загальний розв'язок рівняння
.
Розв’язання.
Тут характеристичне рівняння
має корені
,
отже, за формулою (8.26) загальний розв'язок
рівняння має вигляд
.
Приклад
8.12. Знайти
загальний розв'язок рівняння
.
Розв’язання.
Характеристичне рівняння даного
диференціального рівняння має вигляд
.
Його дискримінант
,
а
.
Корені рівняння
є комплексно спряженими. Тут
,
.
За формулою (8.27) загальний розв'язок
рівняння буде
.