- •Розділ 8. Диференціальні рівняння
- •1. Економічні задачі, що приводять до диференціальних рівнянь. Основні означення
- •2. Диференціальні рівняння першого порядку
- •Диференціальні рівняння першого порядку з подільними змінними.
- •Однорідні диференціальні рівняння першого порядку.
- •Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
- •Рівняння Бернуллі.
- •Рівняння в повних диференціалах.
- •3. Диференціальні рівняння другого порядку
- •Деякі диференціальні рівняння другого порядку, що допускають зниження порядку.
- •Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку. Загальні властивості.
- •4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •5. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку. Метод варіації довільних сталих
- •6. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •7. Системи диференціальних рівнянь
- •Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.
- •8. Задачі економічної динаміки
- •Відповіді до вправ Розділ 1
- •Розділ 2
- •Розділ 3
- •Розділ 4
- •Розділ 5
- •Розділ 6
- •Розділ 7
- •Розділ 8
- •Список літератури
- •Математичний аналіз для економістів
Деякі диференціальні рівняння другого порядку, що допускають зниження порядку.
1. Найпростіше диференціальне рівняння другого порядку має вигляд
. (8.18)
Послідовно двічі інтегруючи і тим самим знижуючи порядок рівняння, будемо мати
,
,
Приклад 8.7. Знайти частинний розв'язок диференціального рівняння , що задовольняє початковим умовам , .
Розв’язання. Загальний розв'язок диференціального рівняння одержуємо, двічі інтегруючи його послідовно:
,
.
Підставляючи у вирази початкові умови, одержуємо систему рівнянь для визначення значень і :
звідки
Шуканий частинний розв'язок має вигляд .
2. Диференціальне рівняння другого порядку, що не містить явно функції , має вигляд
. (8.19)
Введемо нову невідому функцію, прийнявши , . Тоді рівняння (8.19) буде
.
Це диференціальне рівняння першого порядку відносно функції . Розв’язуючи його, одержуємо
.
Підставляючи замість його значення , приходимо до найпростішого диференціального рівняння першого порядку
.
Проінтегрувавши його, одержимо загальний розв'язок даного рівняння
.
Приклад 8.8. Знайти частинний розв'язок диференціального рівняння , що задовольняє початковим умовам , .
Розв’язання. Дане рівняння не містить явно шуканої функції, тому замінимо , , одержимо диференціальне рівняння , що є лінійним рівнянням першого порядку.
Знайдемо допоміжну функцію у вигляді . Тоді . Підставимо значення і в рівняння і підберемо функції і так, щоб виконувалася рівність
або .
Складемо систему рівнянь для визначення функцій і :
Розв’язуючи перше рівняння, знаходимо, що . Підставивши знайдене значення у друге рівняння і розв’язавши його відносно функції , одержимо .
Отже, або . Але оскільки , то загальний розв'язок заданого рівняння знайдемо, проінтегрувавши функцію .
Інтегруючи, маємо .
Щоб із загального розв'язку рівняння виділити частинний, який задовольняє початковим умовам , , підставимо значення , , , одержимо, що , .
Отже, частинний розв'язок даного рівняння має вигляд
.
3. Диференціальне рівняння другого порядку, що не містить явно незалежної змінної має вигляд
. (8.20)
Таке рівняння допускає зниження порядку, якщо за нову незалежну змінну взяти , а за нову шукану функцію взяти .
Тоді, застосувавши правило диференціювання складної функції, одержимо або .
Підставляючи значення й у рівняння (8.20) одержуємо диференціальне рівняння першого порядку відносно функції
.
Розв'язок цього рівняння знайдемо у вигляді .
Замінюючи , одержуємо – рівняння з подільними змінними. Після поділу змінних прийдемо до рівності , інтегруючи яку, знайдемо загальний розв'язок даного рівняння у вигляді .
Приклад 8.9. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння .
Розв’язання. Дане рівняння не містить у собі явно незалежну змінну . Замінимо , . Одержимо рівняння , яке є рівнянням з подільними змінними. Після поділу змінних прийдемо до рівняння , інтегруючи яке маємо або . Звідки .
Оскільки , то розв’яжемо рівняння або . Інтегруючи, одержуємо – загальний інтеграл заданого рівняння