- •Розділ 1. Теорія множин
- •1. Поняття множини
- •2. Найпростіші операції над множинами
- •3. Числові множини
- •4. Обмежені множини. Верхні та нижні грані множин
- •5. Поняття функції (відображення)
- •6. Еквівалентні множини. Потужність множин
- •7. Потужність континуума
- •Розділ 2. Послідовності. Функції однієї змінної
- •1. Числові послідовності
- •2. Границя послідовності
- •3. Застосування послідовностей в економіці
- •4. Поняття функції
- •5. Способи задання функції
- •6. Деякі властивості функцій
- •7. Функція, обернена до даної
- •8. Класифікація функцій
- •9. Основні методи побудови графіків функцій
- •10. Приклади застосування функцій в економіці
- •11. Границя функції
- •12. Нескінченно малі і нескінченно великі функції
- •13. Основні теореми про границі функцій
- •14. Обчислення границь функцій
- •15. Істотні границі Перша істотна границя
- •Друга істотна границя
- •16. Порівняння нескінченно малих
- •17. Неперервність функції в точці
- •18. Властивості функцій, неперервних в точці
- •19. Точки розриву і їхня класифікація
- •20. Властивості функцій, неперервних на відрізку
Друга істотна границя
Границю виду:
(2.9)
називають другою істотною границею.
Можна використовуючи границю (2.9) показати, що:
; (2.10)
; (2.11)
. (2.12)
Приклад 2.11. Обчислити .
Розв’язання. Маємо
.
16. Порівняння нескінченно малих
Нескінченно малі функції часто порівнюють між собою за швидкістю їхнього наближення до нуля. Нехай і нескінченно малі функції при .
Якщо , то говорять, що нескінченно мала більш високого порядку, швидше наближається до нуля, ніж , або нескінченно мала більш низького порядку, ніж при .
Якщо , то і називаються нескінченно малими одного порядку. Зокрема, якщо , то і називаються еквівалентними нескінченно малими при . Той факт, що й еквівалентні, записують так: при .
Наприклад, функції , при є нескінченно малими одного порядку, оскільки ; функція є нескінченно малою більш високого порядку, ніж , оскільки ; функції і є еквівалентними при , оскільки . Аналогічно можна показати, що при .
Теорема 2.6. Границя відношення нескінченно малих не змінюється при заміні їх еквівалентними нескінченно малими: якщо , , то .
Дійсно, помножимо і розділимо відношення послідовно на і , одержимо
,
оскільки .
При обчисленні границь часто буває корисно замінити нескінченно малу в чисельнику чи знаменнику дробу більш простою, еквівалентною їй нескінченно малою функцією.
Приклад 2.12. Обчислити .
Розв’язання. Оскільки при функції , – нескінченно малі, замінимо їхніми еквівалентами: , . Тоді .
17. Неперервність функції в точці
Означення 2.11. Функція називається неперервною в точці , якщо вона визначена в точці та її околі, існує границя функції при , і ця границя співпадає зі значенням функції в точці , тобто
. (2.13)
Рівність (2.13) можна записати у вигляді
,
що дає можливість зробити наступний висновок: для функції, неперервної в точці, знаки функції і границі можна переставляти. Говорять, із границею можна переходити під знак функції. Наприклад,
.
З виразу (2.13) на підставі теореми 2.2 випливає, що чи , де функція нескінченно мала при або .
Назвемо різницю приростом аргументу, а різницю приростом функції. Введемо позначення: ; . Тоді можна сформулювати інше означення функції, неперервної в точці.
Означення 2.12. Функція називається неперервною в точці , якщо вона визначена в т. і нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції, тобто
. (2.14)
Означення 2.12 дає можливість стверджувати, що всі основні елементарні функції неперервні в кожній точці своєї області визначення.
Наприклад, для функції приріст в точці :
.
Тоді:
А це значить, що функція неперервна в кожній точці своєї області визначення.
Означення 2.13. Функція називається неперервною в точці , якщо вона визначена в точці , і границя функції в точці ліворуч дорівнює границі функції в точці праворуч і дорівнює значенню функції в точці. Записують так:
, (2.15)
або символічно .