Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.

Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду

(8.9)

де – відомі функції аргументу , – невідома функція.

Рівняння називається лінійним тому, що і входять у нього лінійно, тобто в першій степені.

Метод розв'язання такого рівняння запропонував Бернуллі. Метод полягає в наступному: знайдемо розв'язок рівняння у вигляді добутку двох функцій і . Підберемо функції і так, щоб їх добуток задовольняв рівняння. Підставивши в рівняння , , одержимо

.

Одну з функцій підберемо так, щоб .

Помітимо, що , інакше функція . Тому і . Одержали систему двох рівнянь з подільними змінними:

(8.10)

Розв’яжемо перше рівняння системи. Оскільки , то рівняння набуває вигляду або після поділу змінних

.

Звідки , .

Підставимо знайдену функцію у друге рівняння системи (8.10) і розв’яжемо його відносно функції . Одержимо або Звідки .

Загальний розв'язок лінійного рівняння має вигляд

.

Може скластися враження, що лінійне рівняння розв’язується дуже громіздко. Однак це не так, і, в дійсності, немає ніякої потреби користатися виведеними громіздкими формулами. Важливо тільки запам'ятати загальний хід розв'язку лінійного рівняння.

Приклад 8.4. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння .

Розв’язання. Дане рівняння є лінійним, тому що в нього і входять у першій степені. Приведемо його до стандартного вигляду, розділивши на , одержимо

Будемо шукати розв'язок у вигляді . Підставимо в рівняння , і підберемо функції і так, щоб рівняння перетворювалося в правильну рівність:

, або .

Нехай . Тоді

Розв’яжемо систему

З першого рівняння знайдемо і Підставляючи в друге рівняння системи знайдену функцію , одержуємо або . Звідки Загальний розв'язок має вигляд

Рівняння Бернуллі.

Рівняння Бернуллі має вигляд

. (8.11)

Як бачимо, рівняння відрізняється від лінійного тільки множником у правій частині рівняння. Покажемо, що це рівняння приводиться до лінійного. Поділимо рівняння на

і замінимо , тоді .

Оскільки , то рівняння набуває вигляду

,

тобто одержали лінійне рівняння відносно функції .

На практиці рівняння Бернуллі може розв’язуватися тим же способом, що і лінійне, без попереднього зведення його до лінійного рівняння.

Приклад 8.5. Знайти загальний розв'язок рівняння

.

Розв’язання. Очевидно, що дане рівняння є рівнянням Бернуллі . Знайдемо розв'язок у вигляді .

Підберемо і так, щоб їх добуток задовольняв рівняння. Підставимо в рівняння , , одержимо

, .

Складемо систему рівнянь:

Розв’язуючи перше рівняння системи, знайдемо . Підставляючи знайдену функцію в друге рівняння системи, одержуємо чи . Звідки , . Загальний розв'язок рівняння: .

Рівняння в повних диференціалах.

Рівняння виду

(8.12)

називається рівнянням у повних диференціалах, якщо ліва частина рівняння є повним диференціалом деякої функції. Його можна записати у вигляді

,

де така функція, що .

Звідси випливає, що загальний розв'язок рівняння (8.12) у неявному вигляді визначається рівнянням

,

де – довільна стала.

Таким чином, розв'язання рівняння зводиться до знаходження такої функції , диференціал якої дорівнює , де , .

Оскільки змішані похідні другого порядку функції двох змінних рівні між собою, то для того, щоб вираз був повним диференціалом, необхідно і достатньо, щоб . Інтегруючи співвідношення за x, знаходимо

, (8.13)

де – довільна функція від .

Підберемо функцію так, щоб .

Для цього продиференціюємо праву частину рівності (8.13) по і отриману похідну прирівняємо до функції

.

З даного рівняння визначаємо й інтегруючи, знаходимо . Підставимо знайдену функцію в співвідношення (8.13) і одержимо шукану функцію .

Приклад 8.6. Знайти загальний розв'язок рівняння

.

Розв’язання. Тут , . Оскільки , , то дане рівняння є рівнянням у повних диференціалах.

Продиференціюємо отриману рівність по і одержимо

.

Звідки , , , . Отже, розв'язком рівняння є функція

.