Ограничения логики предикатов первого порядка

В логике предикатов первого порядка основными элементами, с которыми манипулируют синтаксические правила, являются термы и предикаты. Терм представляет сущности описываемого мира, т.е. те объекты, которые уже не разделяются на более мелкие фрагменты. Предикаты же содержат в качестве своих аргументов только сущности подобного рода и описывают атрибуты (неотъемлемые свойства) сущностей и их отношения. Кроме того, использование переменных допускается только в термах. Однако в естественном языке содержатся выражения, которым нельзя найти соответствия в форме ППФ, если не превратить в переменные сами предикаты.

Например, нельзя представить в форме ППФ вопрос: "В каких отношениях находятся Александр и Василий ?". Для этого надо ввести переменную z, значениями которой являлись бы предикаты первого порядка

($z)z(Александр,Василий).

Поэтому следующим шагом в усложнении формального языка предикатов является логика предикатов второго порядка, в которой допускается использование в качестве аргументов предикатов не только термов, но и предложений предикатов первого порядка.

Понятия вычислимости. Счетные и несчетные множества.

Введем ряд определений.Функциейбудем называть любое правило, ставящее в соответствиезначенияфункции значениям ее аргументов. Множество всех значений аргумента, которым ставятся в соответствие значения функции называютобластью определенияэтой функции. Множество всех значений функции, которые ставятся в соответствие значениям ее аргумента, называютмножеством значенийфункции

Если значениями аргументов функции служат натуральные числа, будем различать всюду определенныеичастичные функции. Множество определения всюду определенной функции есть все множествоNнатуральных чисел. Частичная функция на множестве натуральных чисел имеет областью определения подмножевство множестваN. Определим также на множествеNтак называемую нигде не определенную функциюe, областью определения которой является пустое множество. ФункцияN не определена ни для одного значения аргумента.

Будем называть множество счетным, если оно есть множество значений некоторой функции на множестве натуральных чисел. Пустое множество счетно, потому что оно является множеством значений функцииe.

Из наших определений следует, что множество произвольной природы будет счетным, если все его элементы можно расположить виде единого конечного или бесконечного списка, который имеет начало и в котором каждый элемент множества присутствует хотя бы один раз. Значениями аргумента нумерующей список функции будут номера элементов списка.

В качестве примера докажем, что множество положительных рациональных чисел, т.е. чисел вида m/n(m,n- натуральные числа), счетно. Расположим рациональные положительные числа в виде следующего прямоугольного бесконечного массива. Числоk/jбудет стоять на пересечении -k-го столбца и j-ой строки.

1/1	1/2	1/3	1/4	...
2/1	2/2	2/3	2/4	...
3/1	3/2	3/3	3/4	...
...	...	...	...	...
k/1	k/2	k/3	k/4	...