Машина Тьюринга.

Понятие машины Тьюринга было введено для того, чтобы формализовать интуитивные понятия алгоритма и вычислимости функции. Впервые это понятие было введено в работах английского математика Алана Матисона Тьюринга (Alan Matison Turing) в 1936-37 годах.

Опишем процесс вычислений на этой абстрактной вычислительной машине. Будем предполагать, что вычисления производятся на разделенной на клетки и бесконечной в обоих направлениях ленте. В каждой клетке ленты в данный момент времени записан один из конечного множества символов S₀,..., S_n. Это множество символов называетсяалфавитом машины.

На каждом шаге работы вычислитель (человек, марсианин, электронное или механическое устройство) читает содержимое одной из клеток, над которой он находится. Машина устроена так, что в каждый момент времени она находится в одном из конечного числа внутренних состояний q₁ ,...,q_m. В каждом состоянииq_i машина выполняет инструкцию с номеромi . Каждая инструкция имеет условный характер. Она говорит вычислителю, какое действие выполнять и в какое состояние перейти на следующем шаге в зависимости от того, какой символ находится в считываемой клетке. Предписываемое инструкцией действие может иметь одно изn+4 видов:

1) Остановить вычисления.

2) Сдвинуться вдоль ленты на одну клетку вправо.

3) Сдвинуться на одну клетку влево.

4) Записать в считываемую клетку символ S₀ вместо того, что там было.

5) Записать в считываемую клетку символ S₁.

n+4) Записать в считываемую клетку символ S_n.

Вся программа, которой вычислитель должен следовать может быть описана различными способами. Это может быть машинная таблица,граф переходовилимножество четверок.

Пример 1. Рассмотрим пример машины Тьюринга, которая пишет на ленте три символа S₁ и останавливается. Первоначально во всех клетках ленты записан символS₀ . Наша машина будет писать символS₁ в первой считываемой клетке, затем передвигаться на одну клетку влево и записывать туда символS₁ ,снова сдвигаться на одну клетку и записать символS₀и после этого останавливаться за неимением дальнейших инструкций. Вот как выглядит машинная таблица нашей машины.

Считываемый символ / состояние	S0	S1
q1	S1q1	Lq2
q2	S1q2	Lq3
q3	S1q3

Буква L означает здесь сдвиг на одну клетку влево. БукваR означает здесь сдвиг на одну клетку вправо.S_iздесь означает запись символаS_iв текущую клетку. Элементом машинной таблицы является обозначение действия (L,R,S₀,..., S_n) и следующего состояния (q₁ ,...,q_m).

Граф переходов изображен на следующем рисунке.

Рисунок 1

Каждая вершина в этом орграфе соответствует одному из состояний. Вместо символов S₀и S₁для краткости пишем здесь 0и1. Каждая дуга помечена следующим образом:

текущее считываемый символ: действие следующее

состояние состояние

Рисунок 2

Множество четверок выглядит следующим образом:

{q₁S₀S₁q₁ , q₂S₀S₁q₂ , q₃S₀S₁q₃ , q₁S₁Lq₂ , q₂S₁Lq₃}

Первый знак в четверке обозначает текущее состояние, второй знак - считываемый символ, третий знак - это выполняемое действие, четвертый знак означает следующее состояние.

Будем далее считать, что машина начинает работу в состоянии с наименьшим номером. Рассматриваемая машина остановится, когда в состоянии q₃ она считает символS₁, так как в ее таблице нет записи (соответственно нет дуги в графе переходов), говорящей, что необходимо делать в этом случае.

Показать, как такая машина работает, можно с помощью последовательности ее конфигураций. Каждая конфигурация показывает, что находится на ленте во время выполнения некоторого шага вычисления, в каком из состоянийq₁ ,...,q_mнаходится машина и какую клетку при этом считывает. Будем изображать конфигурацию приводя имеющуюся на ленте запись и записывая текущее состояние под символом, расположенном в считываемой клетке ленты. Последовательность конфигураций нашей машины выглядит следующим образом:

S₀ S₀ S₀ S₀ S₀ S₀ S₀

q₁

S₀ S₀ S₀ S₀ S₁ S₀ S₀

q₁

S₀ S₀ S₀ S₀ S₁ S₀ S₀

q₂

S₀ S₀ S₀ S₁ S₁ S₀ S₀

q₂

S₀ S₀ S₀ S₁ S₁ S₀ S₀

q₃

S₀ S₀ S₁ S₁ S₁ S₀ S₀

q₃

Пример 2. Рассмотрим теперь более сложную машину с алфавитом {0,1}. Эта машина будет удваивать число единиц на ленте. В начальной конфигурации на ленте находится блок изn (n>0 ) единиц. Во всех остальных клетках находятся нули. Наша машина считывает самую левую единицу этого блока. После остановки машины в конечной конфигурации на ленте будет находится блок из 2n единиц и машина будет стоять на самой левой единице. Граф переходов этой машины изображен на следующем рисунке.

Рисунок 3

Выпишите в качестве упражнения конфигурации данной машины, начиная с исходной конфигурации 000111000. Вы увидите, что машина сначала пишет две единицы слева после этого стирает единицу справа в исходном блоке. Эти действия продолжаются в цикле до тех пор, пока в исходном блоке не будут стерты все1.

Пример 3. Машина, которая пишет на пустой ленте блок из 2nединиц. Эту задачу можно решить “в лоб”, создав машину с 2nсостояниями, как в примере 1. Но при n>11 можно сэкономить в числе состояний последовательно соединив машину, которая рисуетn единиц, и машину из примера 2, которая удваивает количество единиц на ленте. Вот как выглядит граф нашей машины, которая имеетn+11 состояний.