Теорема о корректности.

Формализуем логику первого порядка, то есть построим некоторую корректнуюполнуюалгоритмическую процедуру, позволяющую обнаруживать общезначимость общезначимых предложений. Другими словами мы построим позитивный тест для общезначимости. Мы называем процедуру корректной, если всякое предложение, классифицируемое ею, как общезначимое общезначимо в действительности.Полнотаозначает обратное: если предложение общезначимо, процедура должна устанавливать это.

Из определений общезначимости и выполнимости с очевидностью следует, что множество D невыполнимо тогда и только тогда, когда отрицание конъюнкции его членов общезначимо. Поэтому тест для проверки общезначимости легко превращается в тест, устанавливающий невыполнимость конечного множества предложений.

И наоборот тест для проверки невыполнимости легко превращается в тест для общезначимости, так как Sобщезначимо, когда отрицание Sневыполнимо.

В качестве базисного мы будем рассматривать понятие невыполнимости и будем строить позитивный тест для невыполнимости конечного множества предложений. Для этого определим некоторые понятия.

Вывод из множестваD - это всякий конечный или бесконечный список предложений, каждое из которых помечается (аннотируется) справа либо символом “D“, либо номером какой-либо из предшествующих строчек. Если предложение помечается символом “D“, то это предложение принадлежит множествуD. Если предложение помечено номером m, то это значит что оно получается из m-го предложения с помощью правилаUIилиEI, которые определим ниже.

Правило UI (универсальная конкретизация). Исходная строчка (посылка) имеет вид

m ("v)F

с некоторой аннотацией. Результирующая строчка (заключение) имеет вид

n F_vt m

где конкретизирующий термtможет быть любым термом. Напомним, чтоF_vt означает подстановку в формулуFтермаtна место всех свободных вхождений переменнойv.

Правило EI (экзистенциальная конкретизация)

Исходная строчка (посылка) имеет вид

m ($v)F

с некоторой аннотацией. Результирующая строчка (заключение) имеет вид

n F_vt m

где конкретизирующий термt должен быть именем, не встречающимся ни в одном предложении из множества D и ни в одной строке, расположенной выше строки n в рассматриваемом выводе.

Опровержение множестваD - это специальный тип вывода изD, в котором конечное множество бескванторных строк невыполнимо.

Свойство непрерывностиинтерпретаций: всякое предложение принимает одно и то же истинностное значение в любых двух интерпретациях, различающихся только тем (если они вообще чем-либо отличаются), какие значения они приписывают константам, переменным, функциональным и препозициональным символам, не входящим в рассматриваемое предложение.

Сформулируем и докажем основное свойство правилаEI. Предположим, что все элементы некоторого множестваGпредложений, включающего посылку некоторого применения правилаEI, истинны в некоторой интерпретацииc, и конкретизирующий термt этого применения не входит ни в одно предложение из множестваG. Тогда в области интерпретацииc найдется такой объекто, что в интерпретацииc_о^tистинны все предложения множестваG и заключение, полученное по правилуEI.

Доказательство. Поскольку все предложения изG истинны в интерпретацииc, а термt не входит ни в одно из них, то по свойству непрерывности все эти предложения истинны в интерпретацииg, отличающейся отc только тем (если она вообще чем-либо отличается), что в ней имениtне приписывается никакого значения. Таким образом, посылка($v)Fистинна в интерпретацииg. Тогда в соответствии с пунктом 7 определения понятия интерпретации в области интерпретацииg (= область интерпретацииc) найдется объекто, для которого заключениеF_vtистинно вg_о^t. По свойству непрерывности все другие предложения из множестваG истинны вg_о. Ноg_о^t полностью совпадает сc_о^t.Конец доказательства.

Теорема о строгой корректности. Еслиc - модель дляD, аÏ - некоторый вывод изD, то множество всех предложений, входящих вÏ, имеет модельh. Причем можно так выбрать модельh, чтобы она отличалась (если вообще будет отличаться) отc только тем какие значения она приписывает именам и функциональным символам, которые присутствуют вÏ, но не присутствуют вD.

Доказательство. ПоложимD₀=D и если вÏ имеетсяn-я строкаD_n=DÈ{S₁,...,S_n}, гдеS₁,...,S_n- предложения из первыхnстрок выводаÏ.

Рассмотрим вывод Ï вместе с произвольным набором аннотацийA₁,...,A_n,....

1 S₁A₁

.....................

.....................

.....................

n S_nA_n

......................

......................

......................

Аннотация A₁ должна быть обязательно “D”,A₂ будет 1 или “D” и так далее. Теперь для каждогоnтакого, что в выводеÏ естьn-я строка, определим рекурсивно интерпретациюc_n которая будет моделью дляD_n.

Для начала положим c₀=c. Предположим, что мы уже определили модельc_k дляD_kи что в выводеÏ естьk+1-я строка. В зависимости от аннотацииA_k+1 и с учетом специфики конкретизирующего терма тем или иным образом определим модельc_k+1 дляD_k+1.

Случай 1. A_k+1=“D”. В этом случае мы полагаемc_k+1=c_k, так какD_k+1=D_k и интерпретация c_k является моделью дляD_k+1.

Случай 2. Аннотация A_k+1ссылается на одну из предшествующих строк, которая начинается с квантора общности, а конкретизирующий терм в предложенииS_k+1 содержит только имена и функциональные символы, входящие в предложения из множестваD_k. Тогда модельc_k является интерпретацией дляS_k+1, а потому дляD_k+1.

Заключение применения правила UIследует из его посылки, поэтомуS_k+1 истинно в интерпретацииc_k. Следовательноc_k является моделью дляD_k+1. Поэтому в этом случае мы положимc_k+1=c_k.

Случай 3. Этот случай подобен предыдущему за исключением того, что конкретизирующий терм в предложении S_k+1 содержит не менее одного имени или функционального символа, не входящего ни в одно предложение из множестваD_k. Пусть d- некоторый элемент из области интерпретацииc, который мы выберем в начале построений для всех применений случая 3. Построимc_k+1 следующим образом: каждому “новому” имениc_k+1 приписывает в качестве значения элементd, а каждому “новому” функциональному символу - постоянную функцию, принимающую значениеd для всех элементов областиc_k. Во всем остальномc_k+1 совпадет сc_k. ТакS_k+1 получается в результате применения правила UI, c_k+1(S_k+1)=1. Поэтомуc_k+1 в соответствии со свойством непрерывности является моделью дляD_k+1.

Случай 4. Аннотация A_k+1ссылается на одну из предшествующих строк, которая начинается с квантора существования. В этом случае конкретизирующий терм есть имя, которое не входит ни в одно предложение изD_k. Поскольку посылка этого применения правилаEIпринадлежит множествуD_k, она истинна вc_k. Но тогда, согласно основному свойству правилаEI, в области интерпретацииc_kсуществует объекто, для которого интерпретация (c_k)^t_о является моделью дляS_k+1, а потому в силу непрерывности и дляD_k. Поэтомуc_k+1=(c_k)^t_о для некоторого такого о. Во всех четырех случаяхc_k является моделью дляD_k. Все интерпретацииc_k имеют одну и ту же область - область интерпретацииc₀ (=c).

Определим теперь h как интерпретацию, во всем совпадающую сcза исключением того, что каждому имени или функциональному символу, присутствующему вÏ но не вD,h приписывает такое значение, какое приписывает емуc_n. Здесь черезS_n обозначено самое раннее предложение изÏ, в котором это имя или функциональный символ встречается. Поэтому в силу непрерывности всякое предложение вÏ истинно вh.

И модель hотличается отc только тем какие значения она приписывает именам и функциональным символам, которые присутствуют вÏ, но не присутствуют вD.Доказательство закончено.

В этом доказательстве мы неявно использовали аксиому зависимого выбора:ЕслиX- непустое множество и для xÎX существует yÎX такой, что xнаходится в отношении R c y, то существует такая функция f, что для всякого натурального n значение f(n) принадлежит множеству X, причем f(n) находится в отношении R с f(n+1).

Из теоремы о строгой корректности следует теорема о корректности:Если для множества D предложений в префиксной нормальной форме, в которых никакой квантор не является фиктивным, существует опровержение, то D невыполнимо.

Квантор ($v)или ("v)называется фиктивным, если переменнаяvне имеет свободных вхождений в выражении, следующим за этим квантором. Так как для всякого предложения существует префиксный эквивалент, а фиктивные кванторы можно опустить, получив предложение равносильное исходному, на множествоDне накладывается никаких действительных ограничений. Докажем теорему о корректности от противного.

Пусть Dвыполнимо и имеет опровержение. ТогдаDимеет некоторую модель, а следовательно по теореме о строгой корректности множество предложений, входящих в опровержение имеет некоторую модель. А это невозможно, так как конечное подмножество этого множества невыполнимо.

Также в качестве очевидного следствия теоремы о строгой корректности получаем: Логическое следование имеет место, если существует опровержение для множества, каждый из элементов которого является префиксным эквивалентом либо одной из посылок, либо отрицания заключения этого следования.