Теорема о компактности.

В этой главе будем рассматривать только счетные множества предложений. Определение. Множество предложений Ïназываетсяканоническим выводом изD, еслиÏ является выводом изD, обладающим следующими пятью свойствами:

1, Всякое предложение из D входит вÏ.

2. Если предложение ($v)Fвходит вÏ, то для некоторого терма tпредложениеF_vtтакже входит вÏ.

3. Если предложение ("v)Fвходит вÏ, то для некоторого термаtпредложениеF_vtтакже входит вÏ.

4. Если предложение ("v)Fвходит вÏ, то для всякого термаt, который может быть построен из имен и функциональных символов, входящих вÏ, предложениеF_vtтакже входит вÏ.

5. Все функциональные символы, входящие в Ï, входят и вD.

Инструкции, следуя которым можно породить канонический вывод, содержатся в доказательстве леммы 1.

Лемма 1. Для всякого множестваD существует канонический выводÏ изD.

Доказательство. ПустьF₁,F₂,... - некоторая нумерация всех предложений изD, если такая существует. ЕслиD пусто, тоÏ оказывается пустым списком. В противном случае мы построимÏв результате бесконечного ряда шагов. На каждом шаге кÏбудет добавляться конечное число строк. Каждый шаг состоит из трех частей.

Шаг 1а. Первой в выводеÏбудет строка

1 F₁D

Шаг 1b. РасширяемÏ, присоединяя к нему максимально возможное число строк, выводимых с помощью правилаEI(с учетом ограничений, формулируемых ниже)

Шаг 1с. РасширяемÏ, присоединяя к нему максимально возможное число строк, выводимых с помощью правилаUI(с учетом ограничений).

Шаг 2а. Если в нумерацииD имеется вторая строчка, к выводуÏприсоединяем строку

n F₂D

c соответствующим номером n.

Шаг 2b. РасширяемÏ, присоединяя к нему максимально возможное число строк, выводимых с помощью правилаEI(с учетом ограничений)

Шаг 2с. РасширяемÏ, присоединяя к нему максимально возможное число строк, выводимых с помощью правилаUI(с учетом ограничений).

И так далее.

При этом соблюдаются следующие ограничения:

1) Ни одно предложение не может фигурировать в двух различных строчках вывода Ï.

2) Любое предложение может служить посылкой не более чем одного применения правила EI.

3) Когда правило UIприменяется на шагеNc, в качестве конкретизирующего выбирается терм, содержащий менее N вхождений функциональных символов и образованный из имен и функциональных символов, уже входящих в предложения изÏ(за исключением случая, когда предложение F_Nначинается с квантора общности, а вÏ никакие имена еще не появлялись. Тогда конкретизирующим термом правилаUI может быть любое имя).

На шаге NbкÏмогут быть присоединены новые предложения, которые сами могут служить посылками для применения правилаEI. Каждое такое предложение используется в качестве посылки для применения правилаEIтакже на шагеNb. Аналогично по отношению к правилуUIтрактуется и шагNc. На каждом шаге строящийся канонический вывод может быть пополнен лишь конечным числом предложений, так как каждый раз истощается либо запас подставляемых термов, либо посылок, либо они оба.

Рассмотрим пример построения канонического вывода. Пусть множество Dсостоит из двух предложенийF₁иF₂.

F₁=("x)L(x,f(x))

_{________}

F₂=($x)( "y)L(x,y)

Выпишем ниже часть канонического вывода, полученную за первые два шага нашей процедуры.

1 ("x)L(x,f(x)) D(Шаг1a)

2 L(a,f(a)) 1 (Шаг 1c)

__{___}_

3 ($x)( "y)L(x,y)D(Шаг2a)

_{_______}

4 ("y)L(b,y)3 (Шаг 2b)

5 L(b,f(b))1 (Шаг2c)

6 L(f(a),f(f(a)))1 (Шаг2c)

7 L(f(b),f(f(b)))1 (Шаг2c)

____

8 L(b,a) 4 (Шаг2c)

_____

9 L(b,b)4 (Шаг 2c)

______

10 L(b,f(a))4 (Шаг2c)

_______

11 L(b,f(b))4 (Шаг2c)

Первые 11 строчек нашего вывода образуют опровержение для D (строки 5 и 11 составляют невыполнимое множество), но они не являются каноническим выводом. В данном примере всякий канонический вывод изDбесконечен, так как на каждом шаге применение правилаUIк строчке 1 порождает все новые термы, становящиеся объектом преобразований на следующем шаге.

Определение. Интерпретацияlсоответствует множествубескванторных предложенийG, еслиlявляется моделью дляG, причем если вGвходят хоть какие-нибудь термы, то каждый объект в области интерпретацииlесть денотат какого-либо из этих термов.

Если lпроизвольная модель дляG, то всякий терм, входящий в любое предложение изG должен обозначать тот или иной объект из области этой модели. Если жеlсоответствуетG, то должно выполняться и обратное: всякий объект из области интерпретацииl обозначается тем или иным термом, входящим в какое-нибудь предложение изG.

Лемма 2. ПустьÏ- некоторый канонический вывод изD, аG- множество всех содержащихся вÏбескванторных предложений. Причем интерпретацияlсоответствует множествуG. Тогдаlявляется моделью для всех предложений изÏ, а потому моделью и дляD.

Доказательство.Поскольку всякий нелогический символ, входящий вÏвходит и вG, заключаем, чтоlприписывает какое-то истинностное значение всякому предложению изÏ. Для доказательства леммы достаточно доказать, что при этомlне может приписать значение 0 (ложь). Докажем это от противного. Допустим, чтоlприписывает значение 0 одному или нескольким предложениям изÏ. Пусть m- длина самого короткого из этих предложений. ПустьM - некоторое такое предложение длиныm. ПосколькуMне может быть бескванторным, оно обязано начинаться с некоторого квантора. Если это квантор существования, то, согласно пункту 2 определения канонического вывода, вÏвходит некоторая конкретизация предложенияM, более короткая, а потому истинная в интерпретацииl. Но тогда и предложениеM должно быть истинным вl, поскольку оно логически следует из всякой своей конкретизации.

Если это квантор общности, то, согласно пункту 4 определения канонического вывода, а также в силу того обстоятельства, что всякий объект оиз областиlобозначается некоторым термом, входящим вG, некоторая конкретизация предложения M должна входить вÏ и быть ложной вl. А это невозможно, так как конкретизации предложенияMкороче, чемM, а потому истинны вl, если только они входят вÏ. Конец доказательства.

Определение. Множество предложений q называетсялокально выполнимым, если всякое конечное подмножество множестваqвыполнимо.

Утверждение.

Если q локально выполнимо, аS- произвольное предложение,

_{__}

то либо qÈ{S} является локально выполнимым множеством, либоqÈ{S}.

Доказательство.Заметим, что если каждое из множеств

__{_}

{A₁,...,A_m,S} и {B₁,...,B_n,S} невыполнимо, то невыполнимо и множество {A₁,...,A_m, B₁,...,B_n}. Действительно, если множество {A₁,...,A_m, B₁,...,B_n} выполняется в некоторой интерпретации, то выполняется в интерпретации, в которой истинно либоSлибо отрицаниеS. Следовательно в этой интерпретации истинны все предложения одного из множеств

_

{A₁,...,A_m,S} или {B₁,...,B_n,S}. Таким образом, еслиqÈ{S} не является локально выполнимым, то некоторое его подмножество {A₁,...,A_m,S} невыполнимо, причем можно считать, что все предложенияA_iпринадлежат множествуq.

_{__}

Аналогично, если qÈ{S} не является локально выполнимым, то некоторое его подмножество

_

{B₁,...,B_n,S}невыполнимо, причем можно считать, что все предложенияB_kпринадлежат множествуq. Итак, если оба рассматриваемых множества не являются локально выполнимыми, то подмножество {A₁,...,A_m, B₁,...,B_n} множестваqоказывается невыполнимым, а потомуqне может быть локально выполнимым.Конец доказательства.

Напомним, что отношение Rна множествеXназывается отношениемэквивалентности, если

RрефлексивнонаX(xRx, для любогоxиз X.

Rтранзитивно(изxRyиyRzследуетxRz).

Rсимметрично(изxRyи следуетyRx).

Если R- отношение эквивалентности наX, а xпринадлежитX, то множество элементов изX, которые находятся сxв отношенииR, называетсяклассом эквивалентности элементаxпо отношениюRи обозначается через[x]_R. Как правило, из контекста бывает ясно, какое отношение имеется в виду, и поэтому индекс "R" в обозначении опускается.

Докажем следующие утверждения, касающиеся отношений эквивалентности:

Если R- некоторое отношение эквивалентности наX, аx иy - элементы множестваX, то

(1) x Î[x]и

(2) xÎ[y]тогда и только тогда, когда[x]=[y]

Доказательство. Пункт (1) следует из рефлексивностиR.

Пункт (2) для доказательства "только тогда" предположим, что xRy. ЕслиzÎ[x], то xRzи в силу симметричностиzRx. Тогда в силу транзитивностиzRyи в силу симметричностиyRz. Итак мы доказали, что изxRyиzÎ[x] следуетzÎ[y]. Аналогично можно доказать, что изxRyиzÎ[y]следуетzÎ[x]. Поэтому[x]=[y]. Часть "только тогда" доказана.

Докажем часть "тогда". Пусть [x]=[y]. Тогда согласно пункту (1)yÎ[y], а значитyÎ[x]. ПоэтомуxRy.

Лемма 3.Если G - счетное локально выполнимое множество бескванторных предложений, то существует интерпретация о l, соответствующая множеству G.

Доказательство. Можно считать, что множествоGнепусто. В противном случае всякая интерпретация соответствует множествуG.

Пусть A₁,A₂,... - некоторая нумерация всех атомарных предложений, каждое из которых есть либо входящий вGпрепозициональный символ, либо предложение видаEQ(r,s). Здесь предикатEQобозначает знак равенства (r=s), аrиs - термы, входящие вG.

Определим теперь последовательность G₁, G₂,... и проверим, что все ее элементы - локально выполнимые множества. ПолагаемG₁=G- локально выполнимое множество по условию. Пусть теперьG_n определено и является локально выполнимым. Тогда, как мы выше доказали, хотя бы одно из множеств

__

G_nÈ{A_n} иG_nÈ{A_n} , будет локально выполнимым. Берем в качествеG_n+1то из этих двух множеств, которое является локально выполнимым, если локально выполнимо точно одно из них. ИG_n=G_nÈ{A_n}, если оба эти множества локально выполнимы. Таким образом,G_n+1оказывается локально выполнимым, если только локально выполнимоG_n. Поэтому все элементы последовательностиG₁,G₂,... локально выполнимы.

Из определения множеств G_kочевидно, чтоG_iÍG_j, еслиi£j, и чтоGÍG_i при всякомi. Поскольку всеG_kявляются локально выполнимыми, невозможно, чтобы предложение A_iи его отрицание оба входили в некотороеG_j. Но, поскольку хотя бы одно из предложений входит вG_i+1, делаем вывод, что вG_i+1входит точно одно из них и оно же входит во всеG_mприm³i+1. Пусть теперь

{ A_i, еслиA_iÎG_i+1.

B_i={ _ _

{ A_i, еслиA_iÎG_i+1.

Исследуем последовательность B_k. Еслиr иs - термы, входящие вG, то в точности одно из предложений

_{____}

EQ(r,s)иEQ(r,s)входит в последовательностьB_k. Если оба эти предложения оказались бы в последовательностиB_k, то при некоторомmони оба попали бы вG_m. Но тогдаG_mсодержало бы в себе невыполнимое подмножество, а именно

______

{EQ(r,s),EQ(r,s)}.

Определим теперь на множестве входящих в Gтермов отношениеT:rTs, если предложениеEQ(r,s)является одним изB_k.

Докажем, что отношение T рефлексивно. Пусть отношение rTr ложно для некоторого терма r. Тогда отрицание предложенияEQ(r,r)будет одним изB_k и

___

будет входить в G_k+1, но{EQ(r,r)} невыполнимое множество. Поэтому, если отношениеTне будет рефлексивным, множествоG_k+1 не будет локально выполнимым.

Докажем, что отношение T транзитивно. Предположим обратное. ПустьrTs и sTt, но неrTt. То есть предположим, чтоB_i естьEQ(r,s),B_k естьEQ(s,t),

___

B_j естьEQ(r,t), для некоторыхi, k, j. Тогда приmбольшем i, k, j, все три предложения ___

EQ(r,s),EQ(s,t),EQ(r,t) входят вG_m+1, и оно окажется невыполнимым.

Докажем, что отношение T симметрично. ЕслиrTs, то для некоторого iпредложениеB_i естьEQ(r,s). Но тогдаB_j

___

ни при каком jне может бытьEQ(s,r). И следовательноB_j при некотором jестьEQ(s,r)и отношениеT- симметрично.

Итак мы доказали, что отношение T есть отношение эквивалентности. И всякий термtпринадлежит классу эквивалентности[t]_T.

Начнем теперь определять интерпретацию l,соответствующую множеству G.

(А) Если в Gне встречается никаких имен и предикатных символов (а потому и никаких термов), то областью интерпретацииl может быть любое непустое множество. В противном случае за область интерпретацииl принимается множество всех классов эквивалентности[t]_T.

(B) Каждому имени t интерпретацияl приписывает в качестве его значения класс[t]_T.

(С) Каждому n-местному функциональному символуfинтерпретацияl приписывает в качестве его значения функциюf, определяемую следующим условием: для любых[t₁],[t₂],..., [t_n] из области интерпретацииl

f([t₁],[t₂],...,[t_n])=[f(s₁,s₂,...,s_n)], если в классах[t₁],[t₂],...,[t_n] соответственно существуют такие термыs₁,s₂,...,s_n, что термf(s₁,s₂,...,s_n)встречается вG.

В противном случае f([t₁],[t₂],...,[t_n])=[t], гдеt- произвольный терм изG.

(D) Интерпретация l объявляет пропозициональный символ истинным тогда и только тогда, когда этот символ является одним изB_k.

(E) Интерпретация l объявляетn-местный предикатный символRистинным на наборе[t₁],[t₂],...,[t_n] (в указанном порядке) тогда и только тогда, когда R(t₁,t₂,...,t_n) является одним изB_k.

Рассмотрим пункт (С) определения интерпретации l. На первый взгляд может случится так, что наряду с термамиs₁,s₂,...,s_nв классах[t₁],[t₂],..., [t_n] найдутся термыr₁,r₂,...,r_n, для которых выполняется равенствоf([t₁],[t₂],...,[t_n])=[f(r₁,r₂,...,r_n)]и наше определение функцииfокажется некорректным. Чтобы оно было корректным мы для каждого набора аргументов функции обязаны определить единственное значение. Поэтому для этого случая мы должны доказать, что[f(r₁,r₂,...,r_n)]= [f(s₁,s₂,...,s_n)].

Поскольку r_iÎ[t_i], s_iÎ[t_i] (i=1,...,n), тоr_iTs_i. Множество

___

{EQ(r₁,s₁),...,EQ(r_n,s_n),EQ(f(r₁,r₂,...,r_n),f(s₁,s₂,...,s_n))} невыполнимо. ПоэтомуEQ(f(r₁,r₂,...,r_n),f(s₁,s₂,...,s_n) должно быть одним изB_kи T(f(r₁,r₂,...,r_n),f(s₁,s₂,...,s_n)). Следовательноf([t₁],[t₂],...,[t_n])=[f(r₁,r₂,...,r_n)].

Аналогичного рассмотрения требует пункт (E). Поскольку оба множества

__

{EQ(s₁ ,t₁),..., EQ(s₁ ,t₁),R(s₁,s₂,...,s_n), R(t₁,t₂,...,t_n)}

__

{EQ(s₁ ,t₁),..., EQ(s₁ ,t₁),R(s₁,s₂,...,s_n), R(t₁,t₂,...,t_n)}

невыполнимы, мы заключаем, что если выполняются условия s_iTt_i (i=1,...,n), тоR(s₁,s₂,...,s_n) является одним изB_k тогда и только тогда, когда таковым являетсяR(t₁,t₂,...,t_n).

Из пунктов (B) и (C) индуктивным образом следует, что каждый встречающийся в G термtобозначает элемент[t]. Действительно, в силу (B) каждое имяtобозначает[t]. При этом еслиt встречается вG какt=f(t₁,t₂,...,t_n)и в пункте (C) , аt₁ обозначает [t₁],..., иt_n обозначает [t_n], тоt обозначаетf([t₁],[t₂],...,[t_n])=[f(t₁,t₂,...,t_n)]

Теперь мы докажем что, каждое предложение B_k истинно вl. Для всякогоiлибоB_i=A_i, либоB_i¹A_i. ЕслиB_i¹A_i, тоB_i истинно вlтогда и только тогда, когдаA_i вl ложно. Следовательно, мы доказываем, чтоA_i истинно вl тогда, когдаB_i=A_i. При этомA_i является либо пропозициональным символом, либо атомарным предикатомR(t₁,t₂,...,t_n), либо предложением видаEQ(s,t).

Если A_i является пропозициональным символом, то согласно пункту (D)l(A_i)=1 только тогда, когдаA_i=B_i. ЕслиA_i=R(t₁,t₂,...,t_n), то согласно пункту (E) и с учетом того обстоятельства, чтоt обозначает элемент[t],l(A_i)=1 только тогда, когдаA_i=B_i.

Наконец, если A_i есть предложениеEQ(s,t), тоl(A_i)=1только тогда, когда значения термовs,tсовпадают, то есть [s]=[t], то естьsTt. Иначе говоря, предложениеEQ(s,t)(=A_i) является одним изB_k.

Теперь, чтобы убедиться, что интерпретация l соответствует множествуG покажем, что, если вGвходят хоть какие-нибудь термы, то каждый объект в областиlесть денотат какого-либо из этих термов, и чтоl модель дляG. Но если предложения из множестваG построены не только из пропозициональных символов и логических символов, то объекты из областиl есть классы эквивалентности на множестве встречающихся в Gтермов. Поэтому существует взаимно однозначное соответствие между множеством термов и областью интерпретацииl. Поэтому остается лишь показать, чтоl модель дляG.

Пусть S- некоторое предложение изG.("i)l(B_i)=1. Поэтому если в некоторой интерпретацииc c(B_i)=1 , тоc(A_i)=l(A_i). Предложение Sпостроено с помощью логических связок из некоторого конечного множества предложенийA_j, потому существует такое натуральное k, что все предложенияA_j, из которых построеноS являются элементами множества {A₁,...,A_k}. Поэтому во всякой интерпретацииc, в которой предложенияB₁,...,B_k истинны , каждое предложениеA₁,...,A_k имеет то же значение, что и вl.

Все предложения B₁,...,B_k и предложениеSвходят в множествоG_k+1. Поэтому множество {B₁,...,B_k,S}является конечным подмножеством локально выполнимого множестваG_k+1и поэтому выполнимо в некоторой интерпретацииc. Поскольку все предложенияB₁,...,B_k,Sистинны вc,l(S)=1. Поэтомуl - модель для G и лемма 3 доказана..

Теорема о полноте. Если счетное множество невыполнимо, то для него существует опровержение.Доказательство. Предположим обратное. Пусть некоторое множествоDневыполнимо и для него не существует опровержения. Согласно лемме 1, из множестваD существует канонический выводÏ. Так как опроверженияDне существует (по нашему предположению), подмножествоGбескванторных предложений выводаÏлокально выполнимо. Поэтому, по лемме 3, существует интерпретацияl соответствующая множествуG. Тогда, по лемме 2, l- модель для множестваD, а поэтомуDвыполнимо. Мы получили противоречие и доказали теорему.

Теорема о компактности для логики первого порядка.Множество предложений q невыполнимо тогда и только тогда, когда невыполнимо некоторое его конечное подмножество.

Доказательство. Часть "тогда" нашей теорема очевидна. Часть "только тогда" докажем от противного. Пустьq невыполнимо, тогда по теореме о корректности существует опровержениеÏизq. Поэтому конечное множество {A₁,..., A_m}, бескванторных предложений, входящих вÏ, невыполнимо. Можно считать, что списокA₁,...,A_mсоответствуют порядку, в котором эти предложения появляются вÏ. Рассмотрим множествоÏ_o, получающийся изÏ, если в опровержении опустить все предложения, появляющиеся в нем после предложенияA_m. ВыводÏ_oсодержит лишь конечное число предложений. Поэтому имеется лишь конечное число элементовF₁,...,F_nмножестваq, входящих вÏ_o. Пустьq_о={F₁,...,F_n}. Все предложенияA₁,...,A_m входят вÏ_o. Поэтому выводÏ_oпредставляет такой вывод из множестваq_о, что некоторое конечное множество бескванторных предложений, входящих вÏ_o, невыполнимо. Поэтому в силу теоремы о корректностиq_оневыполнимо. Аq_оконечное подмножествоq. Теорема доказана.

Следствием теоремы о полноте является следующее утверждение:

Предложение является логическим следствием какого-либо множества предложений тогда и только тогда, когда оно является следствием некоторого конечного подмножества этого множества.

Доказательство. ЕслиS является следствием множества предложенийG, то

__

GÈ{S}невыполнимо. Поэтому по теореме компактности невыполнимо

__

некоторое его конечное подмножество q₀. ЕслиG₀=q₀\{S}, тоG₀является конечным подмножеством множестваG, а S является его следствием, так как

__

G₀=q₀\{S} невыполнимо.

Вторым следствием теоремы о полноте является теорема Лёвенгейма-Сколема:

Если множество предложений D имеет модель, то у него существует модель со счетной областью.

Доказательство. МножествоD выполнимо, и поэтому в силу леммы 1 существует некоторый канонический выводÏизD. По теореме корректностиÏне является опровержением дляD. Поэтому никакое конечное подмножество множестваG бескванторных предложений выводаÏне является невыполнимым. Таким образомG - счетное локально выполнимое множество. Тогда по лемме 3 существует интерпретацияl соответствующая множествуG, и по лемме 2 она есть модель дляD.

Если D - множество предложений, ни одно из которых не содержит никаких предикатных символов, то все встречающиеся вDнелогические символы - это пропозициональные символы. Поэтому любая интерпретация со счетной областью, которая приписывает встречающимся вDпропозициональным символам те же значения, которые им приписываетl, является моделью дляD.

Но если в D встречается хотя бы один предикатный символ, то вGвстречается хотя бы один терм. Любой элемент из области интерпретацииlслужит значением некоторого терма изG, так какl соответствует множествуG.. Но так какG - счетно , то счетно и множество таких термов. Следовательноl имеет интерпретацию со счетной областью.Конец доказательства.

Докажем теперь существование эффективного позитивного теста для невыполнимости (а следовательно и для общезначимости).

Мы дадим здесь описание эффективной процедуры, которая будучи применена к произвольному предложению Sлогики первого порядка даст ответ “да”, если предложение невыполнимо. Это описание будет дано в краткой интуитивной форме, но из него будет совершенно ясно, как написать программу для абака, которая получает на входе предложение S и через некоторое время печатает ответ “да, невыполнимо”, если предложение Sневыполнимо. Наш тест опишем следующим образом.

Первое: постройте префиксный эквивалент PпредложенияS. При рассмотрении метода резолюции мы дали алгоритм построения префиксного эквивалента произвольного предложения.

Второе: выписывайте все более длинные начальные отрезки канонического вывода Ï_P, из множества {P}, останавливаясь после каждого выписанного предложения, чтобы проверить является ли множество, выписанных к данному моменту, предложений выполнимым. Остановитесь окончательно и выдайте ответ “да”, если это множество невыполнимо. В противном случае продолжайте выписывать очередное предложение канонического вывода. Теоремы о корректности и полноте гарантируют, что процедура завершится и даст положительный ответ, если множество {P} невыполнимо, что эквивалентно невыполнимости множества {S}.

В нашей процедуре на каждом шаге используется тест, который определяет является ли конечное множество бескванторных предложений выполнимым. Существование такого теста для произвольного множества Gбескванторных предложений следует из леммы 3. Так как

либо (1) во всех предложениях из G нет ни одного терма и тогда для решения вопроса о выполнимостиG можно использовать истинностные таблицы или другой известный метод;

либо (2) в предложениях из множества G входит nразличных термов. ЕслиG выполнимо, то оно оказывается локально выполнимым и поэтому у него существует модель, область которой содержит не болееnэлементов. ИтакG выполнимо тогда и только тогда, когда оно имеет модель, область которой содержит не болееnэлементов.

Отсюда следует, что G выполнимо тогда и только тогда, когда оно выполняется в некоторой интерпретацииc с областью изmэлементов (1£m£n), причемcникак не интерпретирует символы, не входящие вG. Число таких интерпретаций конечно. Поэтому по данному множествуG мы можем эффективно сформулировать инструкции, позволяющие выписать явные определения (их часто называют диаграммами) каждой из них. В диаграмме интерпретацииc явно формулируется какое значение имеет каждое имя объекта и переменная, какое значение у каждого пропозиционального символа, какое значение принимает каждая из функций, сопоставляенных интерпретациейcфункциональным символам изGна каждом наборе значений ее аргументов, и какие истинностные значения приписываетc каждому предикатному символу изG на каждом наборе его аргументов, выбираемых (как и для функций) из области интерпретации.

По диаграмме можно эффективно вычислить денотат любого терма из G, затем вычислить истинностные значения вc любого атомарного предложения и затем в соответствии с правилами 1-5 из определения понятия интерпретации (смотри раздел 1.6.) вычислить значение каждого из входящих вG предложений.

Теперь предлагаемая эффективная процедура такова: выпишите все диаграммы всех интерпретаций множества G с областью изmэлементов. Вычислите истинностные значения предложений множестваG для из этих интерпретаций. Если предложения истинны хотя бы в одной интерпретацииG выполнимо. ИначеG невыполнимо.