Теорема Лёвенгейма-Сколема

Рассмотрим следующие предложения:

_____

S₁=("x)R(x,x),

S₂=("x)($y)R(x,y),

S₃=("x)("y)("z)(R(x,y)ЩR(y,z)®R(x,z)).

Докажем, что предложение S= S₁ЩS₂ЩS₃ложно во всякой интерпретации с конечной областью. Пустьc(S)=1,D- область интерпретацииc иc приписывает предикатному символуR для элементов cиdзначение "истина" в точности тогда, когда выполняется отношениесLd. Назовем последовательностьd₁,...,d_nэлементов области D хорошей, еслиd_iLd_j для любыхi<j£n. Заметим, что если d₁,...,d_nобразуют хорошую последовательность, то всеd₁,...,d_nпопарно различны. Так как если бы выполнялосьd_i=d_jприi<j, то мы имели быd_iLd_i, что невозможно, так какc( S₁)=1.

Чтобы доказать, что множество Dбесконечно достаточно убедиться, что для всякого положительногоnсуществует хорошая последовательностьd₁,...,d_n. Докажем это по индукции. Дляn=1 хорошая последовательность из одного элементаd₁ существует, так какDнепусто. Пусть теперьd₁,...,d_n хорошая последовательность. Так какc( S₂)=1, то для некоторогоd_n+1 изD d_nLd_n+1. Но тогда d₁,...,d_n,d_n+1- хорошая последовательность, так как дляi<nd_iLd_n и в силу того, чтоd_nLd_n+1 иc( S₃)=1, выполняетсяd_iLd_n+1.

Нетрудно видеть, что предложение S истинно в интерпретацииc, область которой совпадает с множеством действительных чисел, и которая приписывает предикатному символу R для элементов cиdзначение "истина" в точности тогда, когдаc<d. Действительно 1)всякое действительное число не меньше самого себя, 2)любое действительное число меньше некоторого другого действительного числа, 3)отношение “меньше” транзитивно на множестве действительных чисел.

Список литературы.

1. Булос Дж.,Джеффри Р. Вычислимость и логика/ Пер. с англ.- М.: Мир, 1994.

2. Осуга С. Обработка знаний/ Пер. с яп. - М.: Мир, 1989.

3. Клини С. Математическая логика/ Пер. с англ. - М.: Мир,1973.

4. Нильсон Н., Принципы искусственного интеллекта/Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1985.

5. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. - М.: Мир, 1984.

6. Азбелев П.П., Сборник задач и упражнений по дискретной математике / ГЭТУ. - СПб., 1994.

7. Кордемский Б.А. Математическая смекалка. - М.: Наука, 1991.

8. Кэролл Л. "Логическая игра"/ Пер. с англ. - М. : Наука,