Предложения (дизъюнкты) Хорна

Посмотрим, в каких отношениях с логикой предикатов первого порядка находятся предложения Хорна. В общем виде предложения клаузального множества содержат предикаты и отрицания предикатов, объединенные знаками дизъюнкции. Произвольное предложение этого множества можно представить в форме

__ __ __

F₁ ÚF₂ Ú...ÚF_kÚG₁ÚG₂Ú ...ÚG_l,(3)

где k,l- целые числа. В зависимости от значений kиlвыделим следующие типы предложений.

Тип 1. k=0,l=1.

Предложение представляет собой атомарный предикат и может быть записано как

®G₁(t₁,t₂, ... t_m),

где t₁,t₂, ... t_m- термы.

В случае, когда все термы предиката Gпредставляют собой константы, он (предикат) описывает отдельный факт. Если термы содержат переменные, то предложения такого типа задают общезначимые представления, высказываемые для группы фактов.

Тип 2. k>0,l=0.

Этот тип обычно записывают в виде

F₁ÙF₂Ù...ÙF_k ®.

Эта форма предложения используется для описания вопроса.

Тип 3. k>0,l=1.

Этот тип знания соответствует знанию в форме ЕСЛИ - ТО

F₁ÙF₂Ù...ÙF_k ®G₁.

Тип 4. k=0,l>1.

Этот тип предложения имеет вид

®G₁ÚG₂Ú...ÚG_l

и используется при представлении фактов, содержащих нечеткости. Последняя формула имеет неполную информацию, поскольку из нее нельзя определить, какой из предикатов G₁,G₂,...,G_lявляется истинным.

Тип 5. k>0,l>1.

Это наиболее общий тип предложения. Например,

РОДИТЕЛИ(x,y)®ОТЕЦ(x,y)ÚМАТЬ(x,y).

В системе предложений Хорна допустимы предложения типа 1,2,3, а типы 4,5 запрещены. Это упрощает компьютерную обработку знаний, но сужает описательную мощность этой системы предложений.

Формализация процесса доказательств

Положим, что Sесть множество, состоящее изn ППФ, а именноA₁,A₂, ..., A_n. И пустьBесть ППФ, для которой требуется выяснить является ли она теоремой. В этом случае можно сказать, что доказательство показывает справедливость (истинность) ППФ видаA₁ÙA₂Ù ... ÙA_n®B .

Можно сказать иначе: такое определение эквивалентно тому, что отрицание последней формулы, т.е.

________________

A₁ÙA₂Ù ... ÙA_n®B,

является ложью.

Поскольку эта формула является правильно построенной, то ее можно преобразовать к форме клаузального множества. Обозначим его через K. Основная идея метода резолюции состоит в проверке того, содержится или нет вKложное предложение; или в проверке того, выводится или не выводится ложное предложение изK, если ложное предложение вKотсутствует.

Клаузальное множество Kявляется конъюнктивной формой, т.е. имеет вид

K= С₁ÙС₂Ù ... ÙС_k, гдеC_iв общем случае представляет собой предложение типа 5, которое представляется формулой (3), Можно сказать, что предложение C_iпредставляет собой дизъюнкцию литералов.

Литераломназывается атомарный предикат или отрицание атомарного предиката.Дополнительными литераламиназывается пара литералов, которые отличаются друг от друга символом отрицания. Вначале рассмотрим, как работает метод резолюции для логики высказываний.