Нормальные алгорифмы маркова

Всякая частная проблема из какого-нибудь общего класса проблем может быть сформулирована в виде некоторого выражения подходящего языка. Всякое выражение того или иного языка в свою очередь можно рассматривать как последовательность символов этого языка при условии, что пустое место, служащее обычно для разделения слов, воспринимается как равноправный символ того же языка. Будем называть алфавитомвсякое непустое конечное множество символов, а сами символы алфавита будем называтьбуквами.Словом в алфавите A называется всякая конечная последовательность букв алфавита A. Пустая последовательность букв называетсяпустым словоми обозначается черезL. ЕслиP обозначает словоS_j1...S_jk(S_i- буква из некоторой конечной последовательности букв) иQобозначает словоS_r1...S_rm, то пустьPQобозначаетсоединениеS_j1...S_jkS_r1...S_rm этих двух слов. В частности,PL=LP=P. Кроме того,(P₁P₂)P₃=P₁ (P₂P ₃).

Алфавит Аназываетсярасширением алфавитаВ, еслиВесть подмножествоА. Если алфавит Аестьрасширениеалфавита В, то всякое слово в алфавите Весть также слово в алфавитеА.

Алгорифмом в алфавите Аназывается эффективно вычислимая функция, областью определения которой служит какое-нибудь подмножество множества всех слов в алфавитеАи значениями которой являются слова в алфавитеА[2]. ПустьPесть слово в алфавите А; говорят, что алгорифмU применим к слову P, если Pсодержится в области определенияU. Если алфавитВявляется расширением алфавита А, то всякий алгорифм в алфавите Вназываетсяалгорифмом над алфавитом А. В качестве элементарной операции, на базе которой будут строиться алгорифмы, выделимподстановкуодного слова вместо другого. Если PиQ- слова в алфавите А, то выраженияP®Qи P®.Qбудем называтьформулами подстановкив алфавитеА. При этом предполагается, что стрелка®и точка .не являются буквами алфавитаА. Заметим, что здесь каждое из словPиQ может быть пустым словом. Формула подстановкиP®Qназываетсяпростой. Формула подстановкиP®.Qназываетсязаключительной.

Условимся говорить, что слово Tвходитв словоQ, если существуют такие (возможно пустые слова)U,V, чтоQ=UTV. ПустьP®(.)Qобозначает любую из формул подстановкиP®QилиP®.Q. Конечный список формул подстановки в алфавитеА

{P₁® (.)Q₁

{............... .

{P_r® (.)Q_r.

называется схемой алгорифмаи порождает алгорифм в алфавитеА, который мы сейчас опишем. Пусть теперь дано некоторое словоPв алфавите А. Имеются две возможности:

(1) Ни одно из слов P₁,..., P_rне входит в слово P. Этот факт будем записывать так:U:P].

(2) Среди слов P₁,..., P_rсуществуют такие, которые входят в P. Пустьm- наименьшее целое число такое, что 1£m£rиP_mвходит вP, иR- слово, которое получается, если самое левое вхождение слова P_mв словоPзаменить словомQ_m. Тот факт, что словаPиRнаходятся в описанном отношении, коротко запишем в виде (а)U:P½¾R,

если формула подстановки P_m® (.)Q_m- простая (и тогда мы скажем, что алгорифмU просто переводитсловоPв словоR),

или в виде

(b) U:P½¾.R,

если формула подстановки P_m® (.)Q_m- заключительная (и тогда мы скажем, что алгорифм U заключительно переводитсловоP в словоR).

Пусть U:P½=Rозначает, что существует такая последовательностьR₀,R₁,...,R_kслов в алфавите А, чтоP= R₀,R= R_k,U:R_j½¾R_j+1 для j=0,1,...,k-2 и либоU:R_k-1½¾R_k, либоU:R_k-1½¾.R_k(в этом последнем случае будем писатьU:P½=.R вместоU:P½=R).

Полагаем теперь, что U(P)=R тогда и только тогда, когда либоU:P½=.R, либоU:P½=R иU:R]. Алгорифм, определенный таким образом называетсянормальным алгорифмом(илиалгорифмом Маркова) в алфавитеА.

Определим по индукции операцию ~, которая ставит в соответствие каждому натуральному числу nслово, состоящее изn+1 единицы:~0=1,~(n+1)=1~n. Сопоставим также каждому вектору (n₁,...,n_k), гдеn₁,...,n_k- натуральные числа, слово~ n₁*...*~n_kв алфавите {1,*}.

Пусть UиH- алгорифмы, аP- слово. Будем применять запись U(P)@H(P) для выражения того факта, либо алгорифмы UиHоба неприменимы к словуP, либо оба они к нему применимы и при этом U(P)=H(P). Вообще, еслиCиDкакие-нибудь выражения, тоC@Dбудет в дальнейшем обозначать, что либо оба эти выражения не определены. либо оба они определены и обозначают один и тот же объект.

Назовем два алгорифма UиHнад алфавитомА вполне эквивалентными относительно А,если для любого словаPв алфавитеА U(P)@H(P). Пусть f- эффективно вычислимая функция от nнатуральных аргументовx₁,...,x_n. Обозначим черезH_fалгорифм вМ={1,*} такой, чтоH_f(~x₁*...*~x_n)@~f(x₁,...,x_n). Предполагается также, чтоH_fнеприменим к словам, отличным от вида~x₁*...*~x_n. Назовем функциюfвычислимой по Марковуфункцией, если существует нормальный алгорифмUнад М, вполне эквивалентный H_fотносительноМ.

Будем говорить о нормальном алгорифме, что он замкнут, если его схема содержит формулу подстановки видаL®.Q. В работе такого алгорифма возможен лишьзаключительный обрыв, т.е. обрыв в результате применения заключительной формулы подстановки. Обозначим через U^°нормальный алгорифм, схема которого получается из схемыUдобавлением новой формулы подстановкиL®.L к ней в конце. Нормальный алгорифмU^°замкнут и вполне эквивалентен алгорифмуU относительно алфавита алгорифмаU.

Покажем теперь, что композиция двух нормальных алгорифмов есть снова нормальный алгорифм. Пусть UиH- нормальные алгорифмы в алфавите А.Сопоставим каждой буквеbэтого алфавита новую буквуb', которую назовемдвойникомбуквы b. ПустьА^d- алфавит, состоящий из всех двойников букв алфавитаА. Выберем еще две новые буквыaиb, не принадлежащиеА uА^d. Обозначим через Л_Uсхему, полученную из схемы замыкания нормального алгорифмаUзаменой в ней точки в каждой заключительной формуле подстановки буквойa, и обозначим через Л_Hсхему, которая получается путем замены в схеме замыкания алгорифмаHвсех букв алфавита Аих двойниками, всех точек - буквамиb c последующей заменой всех формул подстановки видаL®Q иL®.Qсоответственно формуламиa®aQи a®abQ. Рассмотрим схему :

{ аa®aa (aÎА)

{ aa®aa¢ (aÎА)

{ a¢b®a¢b¢ (a,bÎА)

{ a¢b®ba¢(aÎА)

{ ba¢®ba(aÎА)

{ ab¢®ab (a,bÎА)

{ ab®.L

{ Л_H

{ Л_U

Нормальный алгорифм Gнад алфавитомА, определенной этой схемой таков, что для любого словаPвА G(P)=H(U(P)). Этот нормальный алгорифм называетсякомпозициейалгорифмовUиHи обозначается×H·U. В общем случае подU_n·...·U₁будем пониматьU_n·(...U₃·(U₂ ·U₁))...).

Пусть D- некоторый нормальный алгорифм в алфавитеАиВ- некоторое расширениеА. К схеме алгорифмаDдобавим сверху всевозможные формулы подстановки вида b®b, где b- произвольная буква изВ \ А. Полученная таким образом схема определяет некоторый нормальный алгорифмD_Bв алфавитеВ, который неприменим ни к какому слову, содержащему буквы изВ\А, и такой, чтоD_B(P)@ D(P) для любого словаPвА. АлгорифмD_Bвполне эквивалентен алгорифмуDотносительно алфавитаАи называетсяформальным распространениемалгорифмаDна алфавит В.

Пусть даны нормальные алгорифмы UиHсоответственно в алфавитахА₁иА₂. Рассмотрим алфавитА= А₁ÈА₂и формальные распространенияU_AиH _AалгорифмовUиHна алфавитА. КомпозицияGалгорифмовU_AиH _Aназываетсянормальной композицией алгорифмов UиH и обозначаетсяH·U. В случае совпадения алфавитовА₁иА₂нормальная композиция алгорифмовUиH совпадает с их композицией. Gявляется нормальным алгорифмом надА, причемG(P)@ H (U(P)) для любого словаPвА₁, и кроме того,Gприменим только к таким словамPв алфавитеА, которые удовлетворяют условиям:

1) Pесть слово вА₁, 2)Uприменим кP, 3)Hприменим кU(P).

Предположим, что алфавит Вявляется расширением алфавитаА, пустьP- произвольное слово в алфавитеB. ПроекциейP^A словаPна алфавит Аназывается слово, получающееся изPстиранием всех вхождений букв изВ\А. Сокращенно записанная схема {x®L (xÎ В\А) задает нормальный алгорифм J_B,Aтакой, чтоJ_B,A(P)= P^Aдля любого словаPвА. АлгорифмJ_B,Aназываетсяпроектирующим алгорифмом.

Пусть АиС- алфавиты без общих букв. ПоложимB=AÈC. Тогда сокращенно записанная схема

{ ca ®ac (aÎА, cÎС)

задает нормальный алгорифм Y_A,Cв алфавитеBтакой, чтоY_A,C(P)=P^AP^Cдля любого словаPв B.

Если Uесть нормальный алгорифм в алфавитеАиВесть расширениеА, то нормальный алгорифмHв алфавитеВ, задаваемый схемой алгорифмаU, назовем естественным распространением алгорифма Uна алфавитВ. Очевидно, чтоH(P)@ U(P) для любого словаP вА, и кроме того,H(P)@U(P)Qдля любого слова PвАи для любого словаQвВ\А. Естественное распространение алгорифмаUнаВ, вообще говоря, отличается от формального распространенияUнаВ, так как последнее неприменимо ни к какому слову с буквами изВ\А.

Пример. Алгорифм подстановки. Пусть А- некоторый алфавит,a₁,..., a_k- фиксированные буквы из алфавитаА иQ₁,...,Q_k- фиксированные слова в алфавитеB. БукваaÏ(АÈB). Тогда алгорифм в алфавитеАÈBÈ{a}со схемой

{aa_i®Q_ia (i=1,...,k)

{ax®xa (xÎA\{a₁,..., a_k}

{a®.L

{L®a

перерабатывает всякое слово Pв алфавитеAв словоSub[a₁,..., a_k/Q₁,...,Q_k](P), в котором все вхождения буквa₁,..., a_k одновременно заменены на словаQ₁,...,Q_k.

П р е д л о ж е н и е 1. ПустьU₁,..., U_k- нормальные алгорифмы иА- объединение их алфавитов. Тогда существует нормальный алгорифмHнадА, называемыйсоединением алгорифмов U₁,..., U_k, такой, чтоH(P)@U₁^#(P)U₂^#(P)...U_k^#(P) для любого словаPв алфавитеА, гдеU_i^#- есть естественное распространениеU_iнаА.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем это предложение дляk=2, после чего индукцией поkлегко может быть получен и общий случай. Введем алфавитA^d двойников букв алфавитаА. ПоложимB=АÈA^d. ПустьU_1d- нормальный алгорифм, схема которого получается заменой каждой буквы схемы алгорифмаU₁её двойником, и пустьU_1d^# иU₂^#- естественные распространения соответственно алгорифмовU_1d иU₂наB. ПустьА={a₁,..., a_n} иA^d={ a¹,..., aⁿ} . Из предыдущего примера ясно, что существуют нормальные алгорифмыW₁=Sub<a₁,..., a_n/ a₁ a¹,..., a_n aⁿ> иW₂=Sub<a¹,...,aⁿ/ a₁,..., a_n> над алфавитомB. Существуют также алгорифмыL^A,Ad,L^Ad,Aтакие, чтоL^A,Ad(P)@P^A P^AdиL^Ad,A(P)@P^Ad P^A. Тогда, как легко проверить, нормальная композицияH@W₂·U_1d^# · L^Ad,A· U₂^#· L^A,Ad· W₁ обладает искомым свойством:H(P)@U₁^#(P)U₂^#(P) для любого словаPв алфавитеА. Действительно, пусть словоP имеет вид a_j1a_j2...a_jl. Тогда

W₁(P)@a_j1 a^j1 a_j2 a^j2...a_jl a^jl,

L^A,Ad(W₁(P))@ a_j1a_j2...a_jla^j1a^j2...a^jl,

U₂^#( a_j1a_j2...a_jla^j1a^j2...a^jl)@U₂^#(P) a^j1a^j2...a^jl,

L^Ad,A(U₂^#(P) a^j1a^j2...a^jl)@ a^j1a^j2...a^jl U₂^#(P),

U_1d^#(a^j1a^j2...a^jlU₂^#(P))@U_1d^#( a^j1a^j2...a^jl)U₂^#(P),

W₂(U_1d^#( a^j1a^j2...a^jl)U₂^#(P))@ U₁^#(P)U₂^#(P).

С л е д с т в и е. 2.ПустьU₁,...,U_k- нормальные алгорифмы соответственно в алфавитах A₁,..., A_k, и пустьА= A₁È...ÈA_k. Тогда существует нормальный алгорифмHнадАÈ{*} такой, чтоH(P)@U₁^#(P)*U₂^#(P)*...*U_k^#(P) для любого словаPвА,U_i^#(P) - естественное распространениеU_iнаА. (В частности,H(P)@U₁(P)*U₂(P)*...*U_k(P) для любого словаPв алфавитеA₁Ç...ÇA_k.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Существует такой нормальный алгорифмDвАÈ{*}, чтоD(P)=* для любого словаPвА. Алгорифм Dзададим схемой

{ a®L (aÎ A)

{L®.*

Пусть, на основании предложения 1, Hесть соединение алгорифмовU₁,D,U₂,D,...,D,U_k. ТогдаH(P)@U₁^#(P)*U₂^#(P)*...*U_k^#(P) для любого слова PвАи, в частности,H(P)@U₁(P)*U₂(P)*...*U_k(P) для любого словаPв пересечении алфавитовA₁,..., A_k.

Л е м м а 3. (1) ПустьG- нормальный алгорифм в алфавитеАиa- произвольная буква. Тогда существует нормальный алгорифмDнадАÈ{a} такой, что для любого словаPвА

{aP, еслиG (P)=L,

D(P)={

{P, еслиG (P)¹L

и алгорифм Dприменим только к тем словам, к которым применимG.

(2) Если UиH- нормальные алгорифмы в алфавитеАиa-буква, не принадлежащаяА, то существует нормальный алгорифм W надАÈ{a} такой, чтоW(P)@U(P) иW(aP)@ H(P) для любого словаP А.

Д о к а з а т е л ь с т в о. (1) Существует нормальный алгорифмZ₁ надАÈ{a}, перерабатывающийLвa и всякое непустое слово в алфавитеАÈ{a} - вL. Такой алгорифм может быть задан следующей схемой:

{a®b (aÎАÈ{a}) ,

{bb®b,

{b®.L,

{L®.a ,

где b - буква, не принадлежащая алфавитуАÈ{a}.

Пусть Z₂= Z₁·G. Для любого словаPвА, еслиG(P)=L, тоZ₂(P)= a, и еслиG(P)¹L, тоZ₂(P)=L. ПустьT- тождественный нормальный алгорифм в А(со схемой {L®.L), и пустьDесть соединение алгорифмовZ₂иT. Тогда, еслиG(P)=L, тоD(P)= aP, и еслиG (P)¹L, тоD(P)=P.

(2) Введем алфавит А^dдвойников букв алфавита А. ПустьB=АÈА^dÈ{a,b}, гдеbÏ АÈА^dÈ{a}. Если мы заменим в схеме замыкания алгорифмаHвсякую букву алфавитаАеё двойником, все точки - буквойb, а в получившейся в результате этого схеме заменим всякую формулу подстановки видаL®Q иL®.Qсоответственно наa®aQиa®ab, то получим некоторую схему, которую обозначим черезЛ_Hd. ПустьЛ_U- cхема замыкания алгорифмаU. Построим теперь схему

{ aa®aa¢ (aÎA)

{ a¢b®a¢b¢ (a,bÎA)

{ a¢b®ba¢ (aÎA)

{ ba¢®ba(aÎA)

{ ab¢®ab (a,bÎA)

{ ab®.L

{ Л_Hd

{ Л_U

Определенный этой схемой нормальный алгорифм WнадАÈ{a}есть искомый алгорифм, т.е.W(P)@U(P) иW(aP)@H(P) для любого словаP вА.

П р е д л о ж е н и е 4. ПустьU, H,G- нормальные алгорифмы и А- объединение их алфавитов. Тогда существует нормальный алгорифмZнад Атакой, что

{ H(P), еслиPесть слово вАиG(P)= L,

Z(P)@{

{ U(P), если Pесть слово АиG(P) ¹L,

и применимый к тем и только к тем словам в А, к которым применимG. АлгорифмZназываетсяразветвлением алгорифмовU иH,управляемым алгорифмомG.

Д о к а з а т е л ь с т в о. ПустьU₁,H₁,G₁- формальные распространенияU,H,Gна Аи букваaÏА. По лемме 3 (1) существует нормальный алгорифмDнадАÈ{a} такой, что

{aP, еслиG (P)=L,

D(P)={

{P, еслиG (P)¹L

для любого слова PвА. По второй части леммы 3 существует нормальный алгорифмW надАÈ{a} такой, чтоW(P)@U(P) иW(aP)@ H(P) для любого словаP А. Тогда искомый алгорифмZесть композиция алгорифмовD иW:Z=W·D. Конец доказательства.

Пусть Uи G- алгорифмы в алфавитеАиP - произвольное слово вА. Применим UкP. Если в результате получится словоP₁, применимGкP₁. ЕслиG(P₁)=L, процесс заканчивается. ЕслиG(P₁)¹L, применим UкP₁. Если в результате получится некоторое словоP₂, то применимGкP₂. ЕслиG(P₂)=L, процесс заканчивается. ЕслиG(P₂)¹L, применим UкP₂ и т. Определенный таким образом алгорифмHназываетсяповторением алгорифма U управляемым алгорифмом G. Очевидно, что H(P)=Qтогда и только тогда, когда существует последовательность словP₀, P₁,..., P_n(n>0) такая, чтоP_n=Q,G(P_n)= L,P_i=U(P_i-1) при 0<i£nиG(P_i)¹Lпри 0<i<n.

П р е д л о ж е н и е 5. Пусть UиG- нормальные алгорифмы иА- объединение их алфавитов иU₁иG₁- формальные распространения соответственноUиGнаА. Тогда существует нормальный алгорифм HнадА, являющийся повторением алгорифмаU₁, управляемым алгорифмомG₁.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предложение достаточно доказать для случая, когда алфавиты алгорифмов UиGсовпадают и когда, следовательно,U= U₁иG= G₁. Пусть букваaне входит вА. По лемме 3(1) существует нормальный алгорифмDнадB=АÈ{a} такой, что для любого словаPвА

{aP, еслиG (P)=L,

D(P)={

{P, еслиG (P)¹L

Пусть F= D·U.F- нормальный алгорифм в некотором расширении С алфавитаB. Пусть букваbне входит вС. Рассмотрим следующую схему:

{xb®bx (xÎC)

{ ba®.a

{ b®L

{ Л_F,

где Л_F- схема, полученная из схемы замыканияFпутем замены в ней всех точек буквойb. Эта схема определяет некоторый нормальный алгорифм Z, причемZ(P)=Qтогда и только тогда, когда существует последовательность словP₀, P₀,...,P_n(n>0) такая, чтоP= P₀,P_n=Q,P_i= F(P_i-1) при 0<i£nиP_n- единственное в этой последовательности слово, начинающееся с буквыa. ПустьY- алгорифм, проектирующий алфавит Сна алфавит С\{a}(т.е. стирающий все вхождения буквыa). Теперь очевидно, что композиция алгорифмов YиZдает искомый алгорифм:H= Y·Z.

С л е д с т в и е 6. ПустьUиG- нормальные алгорифмы и А- объединение их алфавитов. Тогда существует нормальный алгорифмXнадА, который всякое словоPв алфавитеАперерабатывает в слово Qтогда и только тогда, когда существует последовательность словP₀,...,P_n(n³0) такая, чтоP= P₀, P_n=Q,G(P_n)=L,P_i+1= U(P_i) иG(P_i)¹Lдляi=0,1,...,n-1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть T- тождественный нормальный алгорифм иH- повторениеU, управляемое G. Тогда искомым алгорифмом Xявляется разветвление TиH, управляемое G. Этот алгорифм Xназывается полным повторением алгорифма U, управляемым алгорифмом G.

П р е д л о ж е н и е 7. Каков бы ни был нормальный алгорифм Uв алфавитеА, существует такой нормальный алгорифм Uнад алфавитомB=AÈ{1,*}, что для любого слова Pв Аи для любого натурального числа nU^I(~n*P)=Qтогда и только тогда, когда существует последовательность словP₀,...,P_n(n³0) такая, чтоP= P₀, P_n=Q,P_i= U(P_i-1) дляi=1,2,...,n.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пустьa- буква, не входящая вB, и положимС=BÈ{a}. Рассмотрим нормальные алгорифмы вС, задаваемые следующими схемами:

{ a11®.1 {*x®* (xÎB)

{a1*®a*Z₂: {

Z₁: {a*x®a* (xÎB) {*®L

{ a*®.L

{ L®a

Легко видеть, что для любого слова Pв алфавитеBполучаемZ₁(~0*P)=LиZ₁(~n*P) ¹L, еслиn>0.

Если P не содержит букву * то, Z₂(P*Q)=P.

{a1®a Z₄: { 1®.L

Z₃: { a*®.L

{L®aZ₅: { 1*®.L

Нетрудно проверить, что Z₃(~n*P)=P, любого словаPв алфавитеB.А такжеZ₄(~n*P)=~(n-1)*P, еслиn>0, иZ₄(~0*P)=*PиZ₅(~0*P)=Pдля любогоPв алфавитеB.

Пусть теперь R- такой нормальный алгорифм, что R(P)=(Z₂·Z₄)(P)*(U·Z₃)(P) для любогоPв алфавитеC (см. следствие 2). Тогда для любого словаPв алфавитеАполучаем

{ ~(n-1)* U(P), если n>0,

R(~n*P) = {

{ * U(P), еслиn=0.

Обозначим через Еалфавит алгорифмаR. В силу следствия 6, найдется такой нормальный алгорифмXнадЕ, чтоX(P)=Qтогда и только тогда, когда существует последовательность слов P₀,...,P_n(k³0) такая, чтоP= P₀, P_k=Q,Z₁(P_k)=L,P_i= R(P_i-1) иZ₁(P_i)¹Lдляi=0,1,...,k-1. Теперь легко убедиться, что композиция Z₅· Xесть искомый нормальный алгорифмU^I.

П р е д л о ж е н и е 8. Всякая рекурсивная функция является вычислимой по Маркову функцией.

Д о к а з а т е л ь с т в о. (1) Докажем для начала, что нуль-функция, функция следования и проектирующие функции являются вычислимыми по Маркову. Для этого приведем схемы нормальных алгорифмов U_z,U_s,U^k_jнад алфавитомM={1,*}, которые вычисляют соответственно нуль-функциюz, функцию следования sи проектирующую функциюid^k_j. Схемы алгорифмовU_z,U_sвыглядят следующим образом (aÏM):

{* ® *{* ® *

{ a11®a1U_s: {a1®11

U_z: {a1®.1{L® a

{ L® a

Причем алгорифмы U_z,U_sприменимы только к непустым словам в алфавите {1}. Для задания схемы алгорифма U^k_jвведем обозначения. Пустьa₁,...,a_k- буквы, не входящие в алфавитМ, и пусть 1£j£k. Обозначим черезЛ_i(при 1£i<k) список формул подстановки:

{ a_2i-1*®a_2i-1*

{ a_2i-11®a_2i1

{ a_2i1®a_2i

{ a_2i*®a_2i+1

В зависимости от значения j алгорифм U^k_jзадается одной из следующих трех схем:

если i<j<k, если j=1, если j=k,

то схемой то схемой то схемой

{ Л₁ {a₁*®a₁* {Л₁

{ . { a₁1®a₂1 { .

{ . { a₂1®1a₂{ .

{ . { a₂*®a₃ { .

{ Л_j-1 {Л₂ {Л_k-1

{ a_2j-1*®a_2j-1* { . {a_2k-1*®a_2k-1*

{ a_2j-11®a_2j1 { . { a_2k-11®a_2k1

{ a_2j1®1a_2j{ . { a_2k1®1a_2k

{ a_2j*®a_2j+1{Л_k-1{ a_2k*®a_2k*

{ Л_j+1{a_2k-1*®a_2k-1* {a_2k®.L

{ . { a_2k-11®a_2k1 {L®a₁

{ . { a_2k1®a_2k

{ . { a_2k*®a_2k*

{ Л_k-1 { a_2k®.L

{ a_2k-1*®a_2k-1* {L®a₁

{ a_2k-11®a_2k1

{ a_2k1®a_2k

{ a_2k*®a_2k*

{ a_2k®.L

{ L®a₁

Действительно U^k_jприменим к тем и только тем словам, которые имеют вид ~x₁*...*~x_k, причемU^k_j(~x₁*...*~x_k)= ~x_jдля любого набора ~x₁*...*~x_k.( Здесь фрагментЛ_i “съедает” i-й блок единиц).

(2) Рассмотрим теперь операцию композиции. Пусть h(x_1,...,x_n)=f(g₁(x_1,...,x_n),...,g_m(x_1,...,x_n)), где f,g₁,...,g_m - рекурсивные функции. Предположим также, что существуют нормальные алгорифмыU_f, U_g1,..., U_gmнадМ={1,*}, которые вычисляют соответственно функцииf,g₁,...,g_m. Согласно следствию 2, существует нормальный алгорифмHнадМ, такой, чтоH(P)@ U_g1(P)* U_g2(P)*...* U_gm(P) для любого словаPв алфавитеM. В частностиH(~x₁*...*~x_n)@~g₁(x_1,...,x_n)*...*~ g_m(x_1,...,x_n) для любых натуральныхx_1,...,x_n. ПоложимG= U_f·H. Тогда для любых натуральныхx_1,...,x_nимеемG(~x₁*...*~x_n)@U_f(~g₁(x_1,...,x_n)*...*~ g_m(x_1,...,x_n))@

@~f(g₁(x_1,...,x_n),...,g_m(x_1,...,x_n))

(3) Рассмотрим операцию примитивной рекурсии. Пусть h=Pr[f,g]иU_f, U_g- нормальные алгорифмы надМ={1,*}, которые вычисляют соответственно функцииfиg. АлгорифмыU_z,U_s, U^k_jнад алфавитомM={1,*} вычисляют соответственно нуль-функциюz, функцию следованияsи проектирующую функциюid^k_j. С помощью алгорифмов U^k+1_jможет быть построен, в силу следствия 2, нормальный алгорифм H₁ над Мтакой, чтоH₁(~x₁*...*~x_k*~y)@~x₁*...*~x_k. Пусть R= U_f·H₁. Снова на основании следствия 2 и исходя из алгорифмовU^k+1_k+1, U^k+1₁,... U^k+1_k,U_z, R, строим нормальный алгорифм H₂надМтакой, чтоH₂(~x₁*...*~x_k*~y)@~y*~x₁*...*~x_k*~0*~f(x_1,...,x_k).

Нормальный алгорифм H₃= U_s· U^k+2_k+1работает таким образом, чтоH₃(~x₁*...*~x_k*~y*~x)@~(y+1). Применив следствие 2 к алгорифмамU^k+2₁,..., U^k+2_k, H₃иU_g, получим нормальный алгорифмH₄надМ такой, что H₄(~x₁*...*~x_k*~y*~x) @~~x₁*...*~x_k*~(y+1)*~g(x_1,...,x_k,y,x). В силу предложения 7, существует такой нормальный алгорифмH₄^I надМ, что при любомn³0 равенствоH₄^I(~n*P)=Q выполнено тогда и только тогда, когда существует последовательность словP₀,..., P_n (n³0) такая, чтоP=P₀,P_n=Q,P_i= H₄(P_i-1) дляi=1,2,...,n. Тогда алгорифм H= U^k+2_k+2·H₄^I· H₂и есть искомый алгорифм, который вычисляет функциюh.

В самом деле, прежде всего, H₂(~x₁*...*~x_k*~y)@~y*~x₁*...*~x_k*~0*~f(x_1,...,x_k). Применение затем к слову ~y*~x₁*...*~x_k*~0*~f(x_1,...,x_k) алгорифмаH₄^Iравносильноy-кратному применению алгорифмаH₄, начиная со слова ~y*~x₁*...*~x_k*~0*~f(x_1,...,x_k). При этом в результате получится слово~x₁*...*~x_k*~y*~h((x_1,...,x_k,y). Применив затемU^k+2_k+2, получим окончательно ~h(x_1,...,x_k,y).

(4) Покажем теперь, что операция минимизации, примененная к функциям вычислимым по Маркову порождает вычислимую по Маркову функцию. Пусть h(x_1,...,x_n)=Mn[f]( x_1,...,x_n) иU_f- нормальный алгорифм надМ={1,*}, который вычисляет функциюf(x_1,...,x_n,y). Исходя из алгорифмов Uⁿ⁺¹₁,...,Uⁿ⁺¹_nи U_s·Uⁿ⁺¹_n+1в соответствии со следствием 2 построим нормальный алгорифмWтакой, чтоW(~x₁*...*~x_n*~y) @~x₁*...*~x_n*~(y+1).

Рассмотрим нормальный алгорифм DнадМ, задаваемый схемой:

{ 11®.11

{ 1 ®L

Если n=0, то D(~n)=L. Еслиn>0, то D(~n)¹L. ПустьG= D·U_f. ТогдаG(~x₁*...*~x_n*~y)=L, если f(x_1,...,x_n,y)=0, иG(~x₁*...*~x_n*~y)¹L, еслиf(x_1,...,x_n,y)¹0.

Пусть, далее, X- нормальный алгорифм надМтакой, чтоX(~x₁*...*~x_n)=~x₁*...*~x_n*~0. Применив к алгорифмам WиG следствие 6, заключаем, что существует нормальный алгорифмZнадМ, для которого равенство Z(P)=Qвыполнено тогда и только тогда, когда существует последовательность словP₀,...,P_n (n³0) такая, чтоP= P₀, P_n=Q,G(P_n)=L,P_i+1= W(P_i) и G(P_i)¹Lдляi=0,1,...,n-1. Определим теперь нормальный алгорифмH_hкак композицию Uⁿ⁺¹_n+1·Z·X. Нетрудно видеть, чтоH_h(~x₁*...*~x_n)@~Mn[f](x_1,...,x_n)@~h(x_1,...,x_n)

Из пунктов (1)-(4) следует, что если hесть рекурсивная функцияnаргументов, то существует такой нормальный алгорифмU_h над М, чтоU_h(~x₁*...*~x_n)@~h(x_1,...,x_n). Построим нормальный алгорифмYнад М, который применим только к словам вида~x₁*...*~x_n, гдеx_1,...,x_n- натуральные числа, и который работает таким образом, чтоY(~x₁*...*~x_n)= ~x₁*...*~x_n.

Зададим нормальный алгорифм F_h равенствомF_h= H_h·Y.

Тогда F_h(~x₁*...*~x_n)@~h(~x₁*...*~x_n), причемF_hприменим к слову Pтогда и только тогда, когдаP- слово в алфавитеМвида~x₁*...*~x_nиh(~x₁*...*~x_n) определено. Следовательно всякая рекурсивная функция есть функция, вычислимая по Маркову. Доказательство закончено.

Определим теперь гёделевы номера для всех букв S₁,S₂,..., из которых состоят все наши алфавиты:g(S_i)=2i+3. Далее, каждому слову P= S_j0... S_jkприпишем гёделев номерg(P)=2^j0+33^2j1+3...p^2jk+3_k, гдеp_k-к-е простое число. Положим, кроме того,g(L)=1. Наконец, гёделев номер последовательности словP₀,...,P_kопределим как 2^g(P0) 3^g((P1) ...p^g((Pk)_k.

Условимся обозначать буквы S₁ иS₂соответственно буквами 1 и *. Тогда получаемg(~0)=2⁵,g(~1)= 2⁵3⁵и вообщеg(~n)= 2⁵3⁵...p⁵_n.

Можно доказать, что для всякого алфавита Асуществуют такие нормальные алгорифмыF₁иF₂надАÈ{1,*}, что F₁(P)=~g(P)иF₂(~g(P))=Pдля любого, слова PвА. Рассмотрим вопрос о существовании алгорифмаF₁.

Во-первых, существует такой нормальный алгорифм H₁надАÈ{1,*}, что для любого непустого словаP=a_m0a_m1...a_mrв алфавитеА H₁(P)=~g(a_m0)*~g(a_m1)*...*~ g(a_mr)иH₁(a_m0)=~ g(a_m0)*.

Если А={ S_j0... S_jk}, то такой алгорифм H₁задается схемой

{ aS_j0® ~(2j₀+3)*a

{aS_j1® ~(2j₁+3)*a

{ .

{ .

{ .

{aS_jk® ~(2j_k+3)*a

{ a®.L

{ L® a

Во-вторых, существует такой нормальный алгорифм H₂, что H₂(~n*Q)=~0*~2ⁿ*Q. Функция 2ⁿрекурсивна поэтому, существует вычисляющий ее нормальный алгорифм. Применив следствие 2, к алгорифмам вычисляющим нуль функцию, функцию2ⁿи к алгорифмуZ₃ (см. доказательство предложения 7), для которогоZ₃(~n*P)=P, получим алгорифмH₂. ПоложимH₃= H₂·H₁. Тогда для всякого непустого словаP=S_m0S _m1...S _mr

H₃(P)=~0*~2 ^g(Sm0)*~g(S_m1)*...*~g(S_mr)*.

Пусть Uесть такой нормальный алгорифм, чтоU(~n*~u*~v*Q)=~(n+1)*~(up^v_n+1)*Q.

Функция f(x,y,n)=x p^y_n+1рекурсивна, следовательно вычислима с помощью некоторого нормального алгорифма. Нетрудно, применив следствие 3, доказать существование U. Пусть, далее,G- нормальный алгорифм, удовлетворяющий условию:G(P)=Lтогда и только тогда, когдаPсодержит в точности два вхождения буквы *. В силу следствия 6, существует нормальный алгорифмX, являющийся полным повторениемU, управляемымG. Обозначим, наконец, черезY нормальный алгорифм, перерабатывающий всякое слово вида ~x*~y* в

слово ~y, и положимZ= Y·X·H₃. Нетрудно видеть, чтоZ(P)=~G(P) для любого непустого словаPвА. Теперь существование алгорифмаF₁легко доказывается с помощью предложения 4. АлгорифмF₁является разветвлением алгорифма, который перерабатывает пустое слово в ~1, и алгорифмаZ, управляемое тождественным алгорифмом.

Рассмотрим вопрос о существовании алгорифма F₂. Построим алгорифмD со схемой

{ ~(2j_k+3)®S_jk

{ .

{ .

{ .

{~(2j₁+3)®S_j1

{~(2j₀+3)®S_j0

Алгорифм D построен таким образом, чтоD(~(2i+3))®S_i для любого словаS_iиз алфавитаA. Построим нормальный алгорифмRтакой, чтоR(~n)=~0*~n* для любого натурального числаn. Для этого, пользуясь следствием 2, мы воспользуемся алгорифмом, вычисляющим нуль-функцию, и тождественным алгорифмом. Обозначим черезy=(u)_n. Построим алгорифмF такой, что для любых натуральныхn иuи для любого словаP

F(~n*~u*P)=~(n+1)*~(u/p_n^y)*P D(~y)

Здесь функция u/p_n^y примитивно рекурсивна и, поэтому в силу предложения 8 существует вычисляющий ее алгорифм.

Пусть G- нормальный алгорифм такой, чтоG(~n*~1*P)=L для любого натуральногоn и для любого словаP. Для слов отличных от вида~n*~1*PалгорифмGопределен и не равенL. В силу предложения 5, существует алгорифмH осуществляющий повторениеF, управляемоеG. ПустьZ- нормальный алгорифм, перерабатывающий всякое слово~n*~1*P в словоP. Зададим следующую композицию алгорифмовL=Z·H·R. Нетрудно видеть, что L(~g(Q))=Qдля любого непустого словаQ. АлгорифмF₂ зададим, как разветвление алгорифмов (см. предложение 5).F₂(~g(P))=L(~g(P)), если P¹LиF₂(~g(L))=L.

Пусть U- произвольный алгорифм (не обязательно нормальный) над алфавитомА. Поставим в соответствие алгорифмуUфункциюY_U удовлетворяющую следующему условию: для любых натуральных чиселnиmравенствоY_U(n)=m выполнено тогда и только тогда, когда либоnне есть гёделев никакого слова в алфавитеАи m=0, либоn иmсуть гёделевы номера некоторых словPиQв А, причемU(P)=Q.

П р е д л о ж е н и е 9. Если алгорифмUнад алфавитомАтаков, что функцияY_Uрекурсивна, то существует нормальный алгорифм над алфавитомА, вполне эквивалентный алгорифму UотносительноА.

Доказательство. Предположим, что функция Y_Uрекурсивна (в этом случае назовем Uрекурсивным алгорифмом). В силу предложения 8, тогда существует такой нормальный алгорифмHнад алфавитом {1,*}, чтоH(~n)@~Y_U(n) для любого натуральногоn, причемH определен только для тех~n, для которых определено значениеY_U(n). Пусть U¢=F₂·H·F₁. Нетрудно видеть, чтоU¢- нормальный алгорифм над алфавитомА, вполне эквивалентный алгорифму UотносительноА.

П р е д л о ж е н и е 10. Если U- нормальный алгорифм над алфавитомА, тоY_Uесть рекурсивная функция.

Доказательство. Назовем индексом простой формулы подстановки P®Qчисло2¹3^g(P)5^g(Q)и индексом заключительной формулы подстановки P®.Q- число2²3 ^g(P)5^g(Q). Назовем, далее индексом схемы алгорифма

{ P₀®(.)Q₀

{ ..........

{ P_r®(.)Q_r

число 2^k03 ^k1...p ^kr, где k_i- индекс формулы подстановкиP_i®(.)Q_i.

Введем предикаты, истинностные значения которых определяются следующими формулами:

1) Word(u):u=1Ú("z)(z<lh(u)®($y)(y<uÙ(u)_z=2y+3))

("uесть гёделев номер некоторого слова");

2) SI(u): lh(u)=3Ù(u)₀=1Ù Word((u)₁)ÙWord((u) ₂)

("uесть индекс простой формулы подстановки");

3) TI(u): lh(u)=3Ù(u)₀=2Ù Word((u)₁)ÙWord((u)₂)

("uесть индекс заключительной формулы подстановки");

4) Ind(u): u>1Ù("z)[z<lh(u)®SI((u)_z)ÚTI((u) _z)]

("uесть индекс схемы алгорифма");

5) Lsub(x,y,e): Word(x)ÙWord(y)Ù[SI(e)ÚTI(e)]Ù

($u_u£x)($v_v£x)[x=uà(e)₁àv Ùy=uà(e)₂àvÙ

_{______________________________________________________________}

($w_w£x)($z_z£x)(x=wà(e)₁àzÙy=uà(e)₂àzÙw<u))]

("eесть индекс некоторой формулы подстановкиP®(.)Q, аxиy суть гёделевы номера некоторых словUиVтаких, чтоPвходит вUи Vесть результат подстановкиQна место самого левого вхожденияPвU");

6) Occ(x,y): Word(x)ÙWord(y)Ù($v_v£x)($z_z£x)(x=vàyàz)

("xиyсуть гёделевы номера соответственно некоторых словUиV

и слово Vвходит в словоU");_{____________________________}

7) End(e,z): Ind(e)ÙWord(z)Ù ("w_w<lh(e))Occ(z,((e)_w)₁)

("zесть гёделев номер некоторого словаP,eесть индекс некоторой схемы, и определяемый этой схемой алгорифм неприменим к словуP");

8)SCons(e,y,x):Ind(e)ÙWord(x)ÙWord(y)Ù _{_________________}

($v_v<lh(e))[SI((e)_v)ÙLsub(x,y,(e)_v)Ù ("z_z<v)Occ(x,((e)_z)₁)

("eесть индекс некоторой схемыЛ,yиxсуть гёделевы номера некоторых словQиPтаких, чтоQможет быть получено применением к Pнекоторой простой формулы подстановки схемыЛ");

9)TCons(e,y,x):Ind(e)ÙWord(x)ÙWord(y)Ù _____{___________}

($v_v<lh(e))[TI((e)_v)ÙLsub(x,y,(e)_v)Ù ("z_z<v)Occ(x,((e)_z)₁)]

("eесть индекс некоторой схемыЛ, yиxсуть гёделевы номера некоторых словVиPтаких, чтоVможет быть получено применением кPнекоторой заключительной формулы подстановки схемыЛ");

10) Der(e,x,y): Ind(e)ÙWord(x)Ù("z_z<lh(y))[Word((y)_z)Ù(y)₀=xÙ

Ù("z_{z<dif(lh(y),2)})(SCons(e,(y)_z+1))Ù(lh(y)=1ÙEnd(e,(y)₀)Ú

Ú(lh(y)>1Ù(TCons(e,(y)_dif(lh(y),1),(y)_dif(lh(y),2))Ú

(SCons(e,(y)_dif(lh(y),1),(y)_dif(lh(y),2))ÙEnd(e,(y)_dif(lh(y),1)))))]

("eесть индекс некоторой схемы Л,xесть гёделев номер последовательности словP₀, P₁,...,P_k(k³0) такой, что если0£i£dif(k,1), то задаваемый схемой ЛалгорифмUпереводитP_iвP_i+1, и либоU: P_dif(k,1)½¾.P_k, либоU: P_dif(k,1)½¾.P_kиU:P_k] (либо, еслиk=0, тоU: P_k])");

11) W_A(u): u=1Ú("z_z<lh(u))((u)_z=2j₀+3Ú...Ú(u)_z=2j_m+3)

("uесть гёделев номер слова в алфавитеА={S_j0..,S _jm}").

Характеристические функции всех перечисленных выше условий рекурсивны. Пусть теперь U- произвольный нормальный алгорифм над алфавитомАиe- индекс схемы, которой он задается. Рассмотрим рекурсивную функцию

__{________}

f(x)=Mn[(W_A(x)ÙDer(e,x,y))Ú W_A(x)]

Как нетрудно видеть Y_U=(f(x))_{dif(lh(f(x)),1)}, откуда следует, чтоY_Uрекурсивная функция. Если же при этом алгорифм Uприменим к каждому слову в алфавите А, то функцииfиY_Uвсюду определенные рекурсивные функции.

С л е д с т в и е 11. Если функция fвычислима по Маркову, то эта функцияfрекурсивна.

Доказательство. ПустьU- нормальный алгорифм над {1,*} такой, чтоf(x₁,...,x_k)=mтогда и только тогда, когдаU(~x₁*...*~x_k)=~m. ФункцияY_Uрекурсивна. Положимt(x)= g(~x).Функцияtрекурсивна, так какg(~n)=p₀⁵p₁⁵... p_n⁵. Функцияg(x)=lh(x)-1также рекурсивна. Если x= p₀⁵p₁⁵...p_n⁵, тоn=g (x). Рекурсивна и функцияx( x₁,...,x_k)=g(~x₁*...*~x_k). Тогда функцияf=G(Y_U(x))является частично рекурсивной. Конец доказательства.

Итак, следствие 11 и предложение 8 устанавливает эквивалентность понятий вычислимости по Маркову и рекурсивности. Тезис Чёрча утверждает в свою очередь, что понятие вычислимости эквивалентно понятию рекурсивности. Андрей Андреевич Марков в терминах алгорифмов сформулировал соответствующий принцип, названный им принципом нормализации: всякий алгорифм вАвполне эквивалентен относительноАнекоторому нормальному алгорифму над А.

Оказывается тезис Чёрча и принцип нормализации Маркова эквивалентны. В самом деле, примем сначала тезис Чёрча. Пусть Uесть алгорифм в алфавитеА. Соответствующая функцияY_Uявляется частичной эффективно вычислимой функцией. Тогда, в силу тезиса Чёрча,Y_Uесть рекурсивная функция и, следовательно, алгорифм U, на основании предложения 9, вполне эквивалентен относительно Анекоторому нормальному алгорифму над А. Таким образом, если верен тезис Чёрча, то верен и принцип нормализации.

Обратно, пусть верен принцип нормализации, и пусть f- произвольная эффективно вычислимая функция иH_f- алгорифм в M={1,*} вычисляющий функциюf. Согласно принципу нормализации, H_fвполне эквивалентен относительноMнекоторому нормальному алгорифму над M. Следовательно, функцияfесть вычислимая по Маркову функция. Но тогда, в силу следствия 11,fявляется рекурсивной, и мы вывели из принципа нормализации тезис Чёрча.