Определение правильно построенной формулы

Рекурсивно определим составную формулу логики предикатов, которую называют правильно построенной формулой (ППФ) или просто логическойформулой.Если говорить применительно к естественному языку, то ППФ описывает обычные предложения общего вида.

(1) Атомарный предикат есть ППФ. _

(2) Если Fи G- ППФ, то - FÚG, FÙG, F®G, F«G, F- также ППФ.

(3) Если F(x)- ППФ, то ("x)F(x) и ($x)F(x)- ППФ.

(4) Все формулы, получаемые повторением конечного числа раз шагов (1) - (3), являются ППФ.

Примеры ППФ:

("x)[ЧЕЛОВЕК(x) ® СМЕРТЕН(x)]: "Все люди смертны"

("x)("y)("z)[(ОТЕЦ(x,y)ÙОТЕЦ(y,z))®ДЕД(x,z)] : " Отец отца есть дед"

Семантика логики предикатов

Формулы логики предикатов строятся как символьные системы совершенно безотносительно к понятиям описываемого мира. Для описания вполне определенного мира необходимо установить соответствие между понятиями описываемого мира и этими предикатными формулами. С этой целью выполняются следующие действия.

1) Установление соответствия между константами логики предикатов и сущностями (объектами) этого мира. При этом константы принимаются за имена сущностей (объектов) данного мира.

2) Установление соответствия между функциональными символами логики предикатов и функциональными отношениями этого мира.

3)Установление соответствия между атомарными предикатами и концептуальными отношениями данного мира.

Подобными отношениями прежде всего устанавливается соответствие между формулами логики предикатов и концептами, принадлежащими к реальному миру. Иными словами, в язык привносится конкретное смысловое содержание, являющееся "семантикой" логики предикатов.

Иными словами, символьная система логики предикатов “интерпретируется” в соответствии с понятиями описываемого мира.

Такая интерпретация формально представляется следующим образом.

(1) Задается непустое множество D, описывающее сущности(объекты) рассматриваемого мира. Каждой константе ставится в соответствие объект из множестваD, называемыйинтерпретацией,денотатом,значениемилиреализациейданного имени.

(2) Для функциональных отношений внутри этого мира, определенных на множестве аргументов от векторного произведения D´D´D´...´D до D, назначаются функциональные символы.

(3) Каждому атомарному предикату n³0переменных назначается отношение, определенное на D , и его значение - истина или ложь. Этоn-арное отношение опишем характеристической функциейj, которая также зависит отnпеременных. Для произвольных объектовa₁,...,a _nиз области интерпретацииD j(a₁,...,a_n) равно 1 или 0 в зависимости от того, считается или нет предикат истинным в рассматриваемой интерпретации на набореa1,...,an объектов.

Множество D, рассматриваемое с позиций логики предикатов, называетсяобластью интерпретации. Значения логических формул, исходя из описанной выше "интерпретации на D", оцениваются следующим образом [1]. __

(1)Если известны значения логических формул FиG, значения F, FÙG, FÚG, F®G, F«Gоцениваются по соответствующим таблицам истинности.

(2) Если для всех xизD Fоценивается истиной, то истиной является формула ("x)F(x) .

(3) Если хотя бы для одного xизD F(x)является истиной, то формула($x)F(x) тоже истина.

Чтобы придать понятию истинности в интерпретации точный не зависящий от интуиции смысл , для каждого предложения Sрекурсивно определим некоторую функциюg (S)следующим образом.

Пусть S- некоторое предложение. Тогда предложение, не являющееся атомарным, имеет одно из следующих семи видов:

__

1)S ₁, 2)S ₁ÙS₂, 3)S ₁ÚS₂, 4)S ₁®S₂,5)S ₁«S₂,6)("v)F, 7)($v)F, где S ₁, S₂являются предложениями,F- ППФ, все переменные которой связаны за исключением свободной переменнойv. Рассмотрим теперь все эти случаи.

_

1.g (S)=1, если g(S)=0;

_

g (S)=0, если g(S)=1;

2. g(S₁ÙS₂)=1, еслиg(S ₁)=g(S₂)=1;

g(S₁ÙS₂)=0, если хотя бы одно из двух выраженийg(S₁) и g(S₂)равно 0.

3. g(S₁ÚS₂)=1, если хотя бы одно из двух выраженийg(S₁) и g(S₂)равно 1;

g(S₁ÚS₂)=0, еслиg(S₁)=g(S₂)=0.

4. g(S₁®S₂)=1, если верно хотя бы одно из следующих двух равенствg(S ₁)=0 и g(S₂)=1

g(S₁®S₂)=0, еслиg(S ₁)=1 иg(S₂)=0.

5. g(S₁«S₂)=1, еслиg(S ₁)=g(S₂)

g(S₁«S₂)=0, еслиg(S ₁)¹g(S₂).

Фактически в случаях 1 - 5 описываются таблицы истинности логических связок.

6. g(("v)F)=1, еслиg_о^a (F_va)=1 для всякого объектаoиз области интерпретацииg;

g(("v)F)=0, еслиg_о^a (F_va)=0 хотя бы для одного объектаoиз области интерпретацииg

7. g(($v)F)=1, еслиg_о^a (F_va)=1 хотя бы для одного объектаoиз области интерпретацииg

g(($v)F)=0, еслиg_о^a (F_va)=0для всякого объектаoиз области интерпретацииg

Здесь F_vaесть предложение, полученное из ППФFпутем подстановкиaвместо каждого из свободных вхождений в формулуFпеременнойv. Требуется, чтобыaбыло именем, не входящим вF. Аg_о^a есть интерпретация, совпадающая сgво всем, кроме того, что имениaприписывается значениеo. Поэтому интерпретацияg_о^a всегда имеет ту же область, что иg.

Если предложение состоит из одного n-местного атомарного предикатаR,g(R(t₁,...,t_n))=f(g(t₁),...,g (t_n)),

где f- характеристическая функция предикатаR, t₁,...,t_n- термы, значениями которых в интерпретацииg служатg(t₁),...,g (t_n).

Введем теперь следующие определения.

Выполнение: предложениеSвыполняетсяв интерпретацииg(Sистинно в интерпретацииg), еслиg(S)=1.

Выполнимость: предложениеSвыполнимо, если существует такая интерпретацияg,g(S)=1.

Общезначимость: предложениеS общезначимо, если во всякой интерпретацииg, этого предложенияg(S)=1.

Для обозначения общезначимости предложения S будем писатьÞS. ЗаписьюS₁Þ S₂показываем, что изS₁ следуетS₂,т.е. что вывод изS₁( в качестве посылки) утверждения S₂( в качестве заключения) является общезначимым.

Логическое следование:S₁ , ..., S_n Þ S _n+1 означает, что для всякой интерпретацииg, являющейся интерпретацией для всех n+1 предложенийS₁ , ..., S_n+1 , еслиg(S₁)=...= g(S_n)=1 , тоg(S _n+1) =1.

Модельюпредложения называется всякая его интерпретация, в которой оно выполняется.

Множество предложений Гвыполняется в интепретацииg, еслиgявляется моделью для каждого предложения из множестваГ.

Выражение ГÞSозначает, что g(S)=1 всякий раз, когдаgявляется моделью для множестваГ и одновременно интерпретацией для предложенияS.

Множество Г выполнимо, если для него существует модель.

Теориейв некотором языке называют всякое множество предложений этого языка, содержащее все предложения, которые из данного множества следуют.