Метод резолюции для логики высказываний.

Не содержащий переменных предикат является просто высказыванием. Допустим, что в клаузальном множестве Kимеется пара предложенийC_iиC_k, которая содержит дополнительные литералы:

C_i ºXÚL (4)

_

C_kºY ÚL(5)

гдеX,Y- некоторые дизъюнкции литералов.

Докажем, что следствием этих двух предложений является предложение

CºX ÚY, (6)

_

не содержащее литералов LиL. То есть докажем общезначимость формулы

C_i ÙC_k ® C.

Перепишем эту формулу, убрав знак импликации и подставив вместо

C_i ,C_k,Cправые части из формул (4 - 6):

_ _ _ _

(X ÙL)Ú(YÙL)ÚXÚYºLÚLº1.

Поэтому, если в двух предложениях клаузального множества имеются дополнительные литералы, эти два предложения можно заменить одним, которое уже не содержит дополнительных литералов. Это предложение C называетсярезольвентойпредложенийC_i и C_k.

Теорема Bбудет доказана, если в результате последовательного исключения дополнительных литералов в парах предложений клаузального множества мы получим ложное (пустое) предложение.

Приведем пример доказательства методом резолюции. Пусть для некоторой теоремы клаузальное множество имеет вид

K=C₁ÙC₂ÙC₃ÙC₄ÙC₅,

где C_iесть следующие высказывания:

_ _ _ _ _ __

(1) C₁=PÚQÚR, (2)C₂=PÚQÚM, (3) C₃=P , (4) C₄=M,(5) C₅,=Q.

Доказательство методом резолюции:

_

(6) C₆=QÚM- резольвента предложений (2) и (3);

_

(7)C₇=Q - резольвента предложений (4) и (6);

(8)C₈=0 - резольвента предложений (5) и (7).

Принцип резолюции в логике предикатов

Поскольку предикаты содержат переменные, то по сравнению с логикой высказываний алгоритм доказательства несколько усложняется. Перед тем как применять описанный в алгоритм, необходимо провести некоторую подстановкув переменные и ввести понятиеунификации.

Для примера рассмотрим два предиката L(x) и L(a). Здесьx-переменная,a- константа. В этих предикатах предикатные символы одинаковы, чего нельзя сказать о самих предикатах. Тем не менее подстановкой константыaв переменнуюxэти предикаты делаются одинаковыми. Такая подстановка называется унификацией. Целью унификации является обеспечение возможности применения описанного алгоритма доказательства для предикатов. Обобщив формулы (4) и (5), можно записать:

____

C_i ºXÚL(x) C_kºY ÚL(a) ___

В данном случае L(x) и L(a)не находятся в дополнительных отношениях. Но при подстановкеaвместоxэти литералы станут дополнительными. Однако операцию подстановки нельзя проводить при отсутствии каких-либо ограничений.

Наиболее общий унификатор

Подстановку терма tв переменнуюxпринято записывать как {t/x} Поскольку в одну ППФ может входить более одной переменной, то в общем случае подстановка записывается в виде множества упорядоченных парq={t₁/x₁,t₂/x₂, ... t_n/x_n}. Причем подстановка допускается при следующих условиях: 1)x_iявляется переменной, аt_iесть терм, отличный отx_i ;

2) для любой пары элементов из q, например, ( t_i/x_i,t_j/x_j),

в правых частях перед символами "/" не содержатся одинаковые переменные. Если к формуле Lприменяется подстановкаq, то результат подстановки принято обозначать какLq.

Пусть имеется группа различных выражений предиката L. Назовем ихL₁,L₂,...,L_m. Тогда, если существует подстановкаq, такая, что все эти выражения становятся одинаковыми, она называетсяунификаторомдля {L₁,L₂,...,L_m}, т.е для унификатораqсправедливы равенстваL₁q= L₂q=...= L_mq. В этом случае говорят, что множество выражений {L₁,L₂,...,L_m}унифицируемо.

Например, два выражения L(a) и L(x)унифицируемы. Здесь унификатор - это подстановка{a/x}.

Для одной группы выражений может существовать несколько унификаторов. Например, для выражений L(x,y)иL(z,f(x)) следующие подстановкиq₁иq₂будут унификаторами:

q₁={x/z,f(x)/y},

q₂={a/x,a/z,f(a)/y}.

Здесь a- константа;x,y,z- переменные.

Поэтому возникает проблема выбора подходящего унификатора. Результат последовательного выполнения двух подстановок qиl также является подстановкой. Такая подстановка называется сложной и обозначается в видеl°q. Если существует несколько унификаторов, то среди них найдется такая подстановкаd, что все другие унификаторы являются подстановками, выраженными в видеd°q.

В результате подстановки переменные будут замещены константами и описательная мощность ППФ будет ограничена. Чтобы унифицировать два различных выражения предиката, необходима такая подстановка, при которой выражение с большей описательной мощностью согласуется с выражением, имеющим меньшую описательную мощность. Однако нет необходимости ограничивать описательную мощность всеми другими подстановками. Наиболее общий унификатор (НОУ) - это подстановка с самыми минимальными ограничениями подобного рода.

Метод отыскания НОУ для заданной группы предикатных выражений называется алгоритмом унификации. Такой алгоритм состоит в том, что сначала упорядочиваются выражения, которые подлежат унификации. Когда все выражения будут упорядочены в алфавитном порядке, среди них отыскиваются такие, в которых соответствующие термы не совпадают между собой. Положим, что при последовательном просмотре всех выражений слева направо несовпадающими термами явились x, t. Тогда, если выполнены условия: 1)xявляется переменной; 2)xне содержится вt, к группе подстановок добавляетсяt/x. Если повторением этих операций будет обеспечено совпадение всех изначально заданных выражений, то они являются унифицируемыми, а группа полученных подстановок является НОУ.

Приведем пример двух выражений предиката L, которые не могут быть унифицированы, так как нарушается условие 2. ВыраженияL(a,t,f(z))иL(a,x,z)не могут быть унифицированы, так как для термовz иf(z) не существует унифицирующей подстановки.

Рассмотрим алгоритм унификации на простом примере. Пусть необходимо унифицировать два выражения P₁иP₂.

P₁=L(a,x,f(g(y)),

P₂=L(z,f(z),f(u)).

1. Первые несовпадающие термы при просмотре слева направо - это a иz. Подстановка {a/z} дает:

P₁=L(a,x,f(g(y)),

P₂=L(a,f(a),f(u)).

2. Первые несовпадающие термы при просмотре слева направо - это xиf(a). Делаем подстановку {f(a)/x}:

P₁=L(a,f(a),f(g(y)),

P₂=L(a,f(a),f(u)).

3. Первые несовпадающие термы при просмотре слева направо - это f(g(y))иf(u).Сделав подстановку{g(y)/u}, получим:

L(a,f(a),f(g(y)),

НОУ :{a/z, f(a)/x,g(y)/u}.