Числа Белла

S(n,k) – Это способы разбиения n элементного множества на k подмножеств

B_n – это число разбиений n элементного множества на все вариантные не пересекающиеся подмножества.

В_n=ⁿ_k=0 S(n,k)

B₀=1

Теорема: 28

В_n+1=ⁿ_k=0 C_kⁿB_k

Доказательство:

{1,2,….,n,n+1} - множество, n+1 - фиксировано

из 1..n будем выбирать по k элементов

k=0,1,…,n

Если k=0, все множество

K=n, то останется только n+1

Выбирая k остается n+1-i

Оставшееся рассмотрим как одно подмножество.

Всевозможных k разбиений B_k способами выбрать можно столько элементов – С_kⁿ отсюда В_n+1=ⁿ_k=0 C_kⁿB_k

0. 1

1. 0

_ _ _ … _

x₁ x₂ x₃ x_n

x_iX Если x₁X, то ставим 1

Если x₁X, то ставим 0

Получается 2ⁿ комбинаций

_A2^A – множество всех подмножеств данного подмножества

i=0,1,2,…,2ⁿ-1

i=0 (0,0,…,0) \

i=1 (0,0,…,1) | Все подмножества данного множества |

i=2ⁿ-1(1,1,…,1) /

22. Разбиения чисел.

Разбиение чисел

Число n=b₁+b₂+…+b_k b_i>0, n>0 b_i могут повторяться

n=a₁+a₂+…+a_k

a₁>=a₂>=…>=a_k

Упорядочены по убыванию

P(n,k) – число разбиений числа n на k слагаемых

P(n)=ⁿ_k=1 P(n,k) – число всевозможных разбиений

P(0,0)=P(0)=1

P(6)=11

6

5+1

4+2

4+1+1

3+3

3+2+1

3+1+1+1

2+2+2

2+2+1+1

2+1+1+1+1

1+1+1+1+1+1

n=a₁+a₂+…+a_k

Диаграмма Ферререса

Строиться для каждого разбиения числа n

16=6+4+4+2

      a₁

    a₂

    a₃

  a₄

Можно транспонировать

16=4+4+3+3+1+1

    a₁

    a₂

   a₃

   a₄

 a₅

• a₆

Теорема: 30 Число разбиений числа n на k слагаемых = числу разбиений с максимальным элементом k

P(n,k)=

Доказательство:

Теорема: 31 Число разбиений числа n попарно различные слагаемые = числу разбиений числа n на нечетные слагаемые

Доказательство: Возьмем произвольное разбиение на нечетные слагаемые

n=b₁+b₁+…+b₁ + b₂+b₂+…+b₂ +…+ b_p+b_p+…+b_p

r₁ r₂ r_p

b_i – нечетные

Возьмем r_i и возьмем двоичное разложение числа (столько раз встречается b_i)

r_i=2^q1+2^q2+…+2^qp

(q₁>q₂>…>q_p)

b_p+b_p+…+b_p b_i2^qi

r_p

b_i2^q1+b_i2^q2+…+ b_i2^qp все они будут попарно различимы, т.к. b_i нечетно

т.о. Каждому способу разложения на рациональные нечетные слагаемые = способ разложения на попарно различные слагаемые.

Пример:

26=7+5+5+3+3+1+1+1

26=72⁰+52¹+32¹+12¹+12⁰=7+10+6+2+1

n=c₁+c₂+…+c_l оно старше n=a₁+a₂+…+a_k

Если существует p<=min{l,k}: c_i=a_i, i<p c_p<a_p

Противоположный лексикографическому

n=n

…

n=1+1+1+…+1

Просмотрим группу не единичных слагаемых

Пусть t такое что d_t>1, a a_i=1, i>t

n=a₁+a₂+…+a_t-1+(a_t+1+1+…+1)=S Сумма хвостовых элементов

l=d_t-1

S1 S₁=n, r₁=1; d=1; s[ ] s_i r_i - кратность в разбиении

| \- число элементов в разбиении число элементов без учета кратности

S2 If (s1=1) stop

S3 sum:=0;

If (sd=1)

{ Sum:=sum+rd;

d:=d-1;

}

sum:=sum+Sd

rd=rd-1;

l=Sd-1;

if (rd>0) d=d+1;

Sd=l;

[rd=[sum/l];

l=<sum>_e;

if (l>0)

{d=d+1;

Sd=l; rd=1}

Пример:

n=9; d=1

sum=0; r₁=0 l=8

8+1

7+2

7+1+1

6+3

6+2+1

6+1+1

5+4

…

5+1+1+1+1

4+4+1

….

1+1+1+1+1+1+1+1

23. Принцип включения - исключения.

Задача: Существует S={x₁,x₂,…,x_n} – конечное множество

Существуют свойства p₁, p₂ … p_n – любой x_i может ими обладать.

N₍₀₎ – число элементов которые не обладают ни одним свойством.

N₍₁₎ – число элементов которые не обладают первым свойством.

N₍₁₂₎ – число элементов которые не обладают первым и вторым свойством.

…

N_(i1,i2,..in) – число элементов, которые обладают свойствами p₁, p₂ … p_n

1. N₍₀₎ - ? N₍₀₎=N-(N₍₁₎+N₍₂₎)+N_(1,2)

1

2 S

Теорема: 24

N₍₀₎=N-^N_i=1N_(i)+ ^N_i1<i2N_(i1,i2)- ^N_i1<i2<i3N_{(i1,i2,i3)+…+}(-1)^S^N_i1<…<iSN_(i1,…,iS)+ (-1)^NN_(1,2,…,N)

P(j,1), P(j,2),…,P(j,N)

1-C₁^r+ C₂^r- C₃^r+…+(-1)^rC_r^r=0

Перестановка в которой, ни один элемент не стоит на своем месте, называется беспорядком:

{1,2,3} {2,1,3} {3,1,2} их число не бесконечно.

А_nⁿ=P_n

S={x₁,x₂,…,x_n}

|x|=n!

p₁,p₂,…,p_n; p_i – i-ый элемент стоит на своем месте, свойства перестановки.

N(i₁,i₂,…,i_r)=(n-r)! R свойств

N(i₁,i₂)-C_rⁿ(n-r)!=n!/r!

N₍₀₎=n!-n!/1!+n!/2!-n!/3!+…(-1)ⁿn!/n!=n!(1-1+1/2!-1/3!+…(-1)ⁿ1/n!)=n!_k=0ⁿ(-1)^k/k!

24. Рекурентные уравнения. Структура решения. (Оба вопроса не разделить)

25. Рекурентные уравнения с постоянными коэффициентами.