Частный случай теоремы 23

X1	X2	…	Xn
y1	y2	…	yn

x_iy_j

S_i(x) : S_i(x)=y_i i=1,2…n

S(x) – многочлен проходящий через все узлы интерполяции – (x_i,y_i)

<S(x)>_X-Xi=y_i - остаток от деления S(x) на (x-x_i) (Схема Горнера)

S(x)=(x-x_i)+c

C(x)=(x-x₁) (x-x₂)… (x-x_n)

C_i(x)=( ) (x-x_i-1) (x-x_i+1)…

<D_i(x)C_i(x)>_X-Xi =1

<D_i(x) (x-x₁) (x-x₂)… (x-x_i-1) (x-x_i+1)… (x-x_n)>_X-Xi =1

D_i(x) (x-x₁) (x-x₂)… (x-x_i-1) (x-x_i+1)… (x-x_n)=1

S(x)=_i=1ⁿD_i(x) C_i(x) U_i(x)=_i=1ⁿy_i - Многочлен Лагранжа

Через n точек можно провести многочлен deg<=n-1

Недостаток: При добавлении данных надо пересчитывать весь многочлен.

15. Интерпо­ляционная формула Ньютона.

Интерполяционный метод Ньютона.

Подход:

X1	X2	…	Xn
y1	y2	…	yn

S₁(x) S₂(x) … S_n(x) (x-x₁)

S₁(x)=y₁ (x-x₂)

…. …

S_k(x)-S_k-1(x) (x-x_k-1)

x₁,x₂….x_k-1

* a||b₁ и a||b₂ (b₁;b₂)=1 => a||b₁b₂

по аналогии с *

S_k(x)-S_k-1(x)||(x-x₁)(x-x₂) … (x-x_k-1)

S_k(x)-S_k-1(x)=A_k(x-x₁)(x-x₂) … (x-x_k-1)

S_n(x)=A₁+A₂(x-x₁)+A₃(x-x₁)(x-x₂)+…+A_n(x-x₁)(x-x₂) … (x-x_n-1)

y₁=A₁ | x=x₁

y₂=A₁+A₂(x₂-x₁) | x=x₂

Пример:

x₁ x₂ x₃

-1 0 1

y₁ y₂ y₃ S₃(x) =A₁+A₂(x-x₁)+A₃(x-x₁)(x-x₂)

3 -1 2 3=A₁ | x=-1

-1=A₁+A₂(1) | x=0 | A₂=-4

2=A₁+A₂(2)+A₃(2)(1) | A₃=7/2

S₃(x)=3-4(x+1)+7/2(x+1)x

S₄(x)=S₃(x)+A₄(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)

16. Приближенная интерполяция (Метод наименьших квадратов).

Приближенная интерполяция

F(x₁,x₂…x_n)

F(x,y)=sin x^.cos x или F(x,y,z)=x²z+xy+xy²z³

;

;

Метод наименьших квадратов

S(x_k)-y_k=k

_k=1ⁿk min

S_m(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_mx^m

_k=1ⁿk² =_k=1ⁿ(a₀+a₁x+a₂x²+…+a_mx^m)²

Ф(a₀,a₁,…,a_m) min {a₀,…,a_m}

(a,b)ax+b

_k=1⁷(ax_k+b-y_k)²=Ф(a,b)

;

Ф(a,b)=(-3a+b+2)²+(-2a+b-4)²+(-a+b)²+(b-1)²+(a+b)²+(2a+b-3)²+(3a+b-2)²

(-3a+b+2)(-3)+(-2a+b-4)(-2)+(-a+b)(-1)+(b-1)(0)+(a+b)(1)+(2a+b-3)(2)+(3a+b-2)(3)=0

17. Размещения и сочетания без повторений. Биномиальные ко­эффициенты и их свойства. Треугольник Паскаля.

Определение: способ размещения в определенном порядке некоторого числа элементов. Суммы S называют размещения.

S={a,b,c}

{ab,ac,ba,ca,bc,cb}

{ab,ac,bc}

A_kⁿ=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)

A_nⁿ=Pⁿ-n!

C_kⁿ=A_kⁿ/P^k=n!/(n-k)!k!

Свойства:

1)

2. _k=0ⁿC_kⁿ=2ⁿ

3. _k=0ⁿ(-1)^kC_kⁿ=0

4. C_kⁿ=C_n-kⁿ

5. C_kⁿ=C_k-1^n-1+C_k^n-1

6. C₀⁰=C_nⁿ=1

Треугольник Паскаля:

С₀ⁱ, С₁ⁱ, … С_iⁱ (x+y)ⁱ

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

7. Тождество Коши:

С_k^m+n=_s=0^kC_s^mC_k-sⁿ

m=n=k

C_k^2k=_s=0^k(C_sⁿ)²

Доказательство:

M,n,k – надо выбирать

_s=0^kC_s^mC_k-sⁿ

18. Размещения и сочетания с повторениями. Кодирование с ис­правлением ошибок. Граница Хемминга.

Размещение и сочетание с повторениями.

n-k

A_kⁿ=n^k n, n, n … n - k раз

Сочетания

X={a₁,a₂,…a_n)

a₁ x₁ x_i>=0

a₂ x₂ x₁+x₂+…+x_n=k

.. ..

a_n x_n

a_i - x_i+1 > 0

a₁a₁a₁| a₂a₂a₂|…|a_na_na_n|

x₁+1 x₂+1 x_n+1

C_n-1^n+k-1

Кодирование с исправлениями (кодирование Хэмминга)

a=(a₁,…,a_n) a_i{0,1}

P<2_k^m r – не более, чем в r разрядах могут существовать ошибки.

P – число слов.

a=(a₁,…,a_m) | d(a,b)={a_i+b_i} – количество разрядов, которые не совпадают друг с b=(b₁,…,b_m) | другом. – Расстояние от a до b.

Пример: a=(0,1,1,0) |

b=(1,1,0,1) | => d(a,b)=3. = функция расстояния между объектами

(A,B)M (A,B) M*M  R₊ (декартово произведение).

1. (A,B)>0

(A,B)=0 <=> A=B

2. (A,B)=(B,A)

3. (A,B)<=(A,C)+(C,B)

Докажем, что d(a,b) – расстояние т.е. обладает 1,2,3.

1. очевидно

2. очевидно

3. d(a,b)<=d(a,c)+d(c,b)

a_i=b_i; 0<= …

a_ib_i; 1<= Пусть нет вклада a_i=c_i |

c_i=b_i | => a_i=b_i Значит наше предположение не верно a_ib_i;

Теорема: 26

S={a⁽¹⁾, a⁽²⁾, … , a^(p)} –

D(a⁽ⁱ⁾, a^(j))>=2r+1

a⁽ⁱ⁾ – передали i разрядное слово, не более, чем в r разрядах ошибка.

b – переданное слово.

Известно d(a⁽ⁱ⁾,b)<=r

A_i={b|d(a⁽ⁱ⁾,b)<=r - окрестность с центром в точке b.

b<i

Окрестности не пересекаются:

Пусть это не так, тогда:

d(a⁽ⁱ⁾,w)<=r | => d(a⁽ⁱ⁾, b⁽ⁱ⁾)<=d(a⁽ⁱ⁾,w)+d(a^(j),w)<=2+2=22 Значит наше пред-

d(a^(j),w)<=r | положение неверно.

. .

. . . слова

Окрестность, любое слово на

расстоянии <r стало P<rⁿ слов.

2^m, r  P?

A_i aⁱ A_i={a, d(a,aⁱ)<=r}

|A_i|=C₀^m+ C₁^m+ C₂^m+…+C_r^m=_^rC_k^m – число слов в любой окрестности.

P_^rC_k^m<=2^m => p<=2^m/_^rC_k^m

Пример: Кодирования по Хэммингу.

m=3, r=1, p<=8/C₀³+C₁³=2

a⁽⁰⁾=(0,0,0) |

a⁽¹⁾=(1,1,1) | d(a⁽⁰⁾, a⁽¹⁾)=3=2k+1

A₀={(0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}

A₁={(1,1,1), (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)}

(0,1,1) (1,1,1)

(0,1,0) (1,1,0)

(0,0,1) (1,0,1)

(0,0,0) (1,0,0)

19. Полиномиальное кодирование. Код Шеннона-Фэно и алгоритм Хаффмена.