Полиномиальное кодирование.

a=(a₁,a₂, … a_m), a_i{0,1} | Z₂

Z₂ | a=(0,1,1,0,1) x+x²+x⁴

m+k=n₊

g(x)=g₀+g₁x+…+g_kx^k

g₀0, g_k0

m=5, k=3

a=(0,1,0,1,1)=x+x³+x⁴

g(x)=1+x²+x³

a-g=x+x⁵+x⁷

(0,1,0,0,0,1,0,1)

mx(x+k)

Правоциркулярная матрица

а.

Теорема: 27

Пусть существует многочлен f(x)Z₂ – множество вычетов

(коэффициент из множества Z₂, если он делиться на 1+x, тогда у многочлена четно число не нулевых коэффициентов).

Доказательство:

f(x)=f₀+f_1X+f_2X²+…+f_kX^k

f(x)=(1+x)f₁(x)

f(1)=f₀+f₁+f₂+…+f_n=0 (1+1=0) => число не нулевых коэффициентов четно.

g(x)=1+x (m,m+1)

Коды Шеннона-Фено

Свойство префикса – никакая кодовая последовательность не является началом другой кодовой последовательности.

Код – беспрефиксный.

P₁…P_n – вероятность появления какого-либо символа в последовательности.

0<=p<=1

P₁+P₂+…+P_n=1

S₁, S₂, … , S_n – длины кодовых символов.

_i=1ⁿP_iS_i  min оптимальный код.

Лемма: беспреффиксные коды.

1. p₁>=p₂>=…>=p_n S₁<=S₂<=…<=S_n

2. S_n=S_n-1.] S_n>S_n-1 _______X

S_n-1 - не может быть другим кодом

Алгоритм Хоффмана.

p₁>=p₂>=…>=p_n Наименьшие встречающиеся слова мы объдиним S₁<=S₂<=…<=S_n

p_n p_n-1 - 2 редко встречающихся слова

Получаем n-1 слово и т.д. до тех пор пока не останется 2 слова, которым приписывается 0 или 1

Пример:

{a, b, c, d, e} Известны вероятности появления этих слов в тексте.

0,37(a)

0,22(b)

0,16(c) d,e – самые редко встречающиеся символы, объединем в одно

0,14(d) Появление символов не зависит друг от друга.

0,11(e)

Теперь

0,37(a); 0,22(b); 0,16(c); 0,25(de);

Далее:

0,37(a); 0,38(bс); 0,25(de);

0,62(ade); 0,38(bс);

Кодирование 0 и 1

ade bc

0. 1 Присваиваем правому 0, а левому 1

a de b c

00 01 10 11 Получается беспреффиксный код

d e

010 011

20. Лексикографический порядок. Генерирование k-элементных подмножеств. Бинарный код Грея.

Лексикографический порядок

{x₁, x₂,…,x_n} - набор каких-либо объектов

{y₁, y₂,…,y_n} - x_i, y_iX (алфавит)

Можно их сравнить, больше, меньше, равно, не равно

{x₁, x₂,…,x_n} < {y₁, y₂,…,y_n} Набор Х в лексикографическом порядке идет раньше.

Если существует к(1,n) такая, что x_i=y_i для i<k x_k<y_k

Пример: словарь из 3-х символов, тогда в словаре 3-х буквенных слов – 6

{1,2,3} {1,3,2} {2,1,3} {2,3,1} {3,1,2} {3,2,1}

Антилексикографический порядок

{x₁, x₂,…,x_n} < {y₁, y₂,…,y_n} Набор Х в лексикографическом порядке идет позже.

Если существует к(1,n) такое, что x_i=y_i для i>k x_k>y_k

Алгоритм лексикографического порядка

n – элементное множество задача перебрать все к – элементные подмножества данного множества. (k<n)

Чтобы их не перепутать (не повторять) будем их перебирать в лексикографическом порядке.

С_n^k – можно выбрать подмножеств из n

{1..k} – первое множество

…

{a₁,a₂,…,a_k}

{a₁,a₂,…,a_p,a_p+1,a_p+2,…,a_p-k+p+1}

p=max{i|a_i<n-k+1}

a[ ] – очередная перестановка

p – переменная которая показывает с какого места мы изменяем

a[i]=i i[1,k]

p=k

while(p>=1)

{

if(a[k]=n) then p:=p-1

else p:=k;

if (p>=1)

{

a[i]:=a[p]+i-p+1;

for (i=k, k-1, … p)

}

}

Пример n=6 {1,2,3,4,5,6}

k=4

{1,2,3,4}, p=4

{1,2,3,5}, p=4

{1,2,3,6}, p=3

{1,2,4,5}, p=4

{1,2,4,6}, p=3

{1,2,5,6}, p=2

{1,3,4,5}, p=4

{1,3,4,6}, p=3

{1,3,5,6}, p=2

{1,4,5,6}, p=1

{2,3,4,5}, p=4

{2,3,4,6}, p=3

{2,3,5,6}, p=2

{2,4,5,6}, p=1

{3,4,5,6}, выход

15 варинантов