Диафантовы уравнения

ax+by=c a,b,c,x,yZ x,y - ?

Теорема: 8

d=D(a,b) уравнение ax+by=c разрешимо <=> c||d при этом множество решений описывается следующими уравнениями

x=x₀-(b/d)t

y=y₀-(a/d)t tZ

Если существует (x₀,y₀) – частное решение.

Доказательство:

1. Существует если a||d то b||d , тогда есть решение если c||d

Пусть a=de₁; b=de₂; c=de₃ => ax₀+by₀=d имеет решение – x₁,y₁

a(e₃x)+b(e₃y)=c решение есть - (e₃x, e₃y)

2. Пусть существует x₀,y₀ : ax₀+by₀=c

a(x-x₀)+b(y-y₀)=0 <=> Числовое тождество <=> (a/d)(x-x₀)=-(b/d)(y-y₀)

((a/d);(b/d))=1 (иначе d не НОД)

-(b/d)(y-y₀)|| (a/d) => y-y₀=(a/d)t => y=y₀+(a/d)t

аналогично x=x₀+(b/d)t, т.е. если существует решение x,y то отношение имеет такой вид.

Доказательство в обратную сторону, в результате подстановки получается тождество.

Дополнение: ax+by=c разрешимо, если D(a,b)=1

Пример 1:

15x+19y=1

19=15 1+4

15=4 3+3

4=3 1+1

3=1 3

q 1 3 4

0 1 -1 4 -5

x₀=-5 x=-5+19t

y₀=4 y=-(-4+15t)

126x-102y=18

D(126,102)=6

21x-17y=3

ax+by=D(a,b)

Решим 21x-17y=1 для этого решим 21x+17y=1

21=17 1+4

17=4 4+1

4=4 1

q 4 1

0. 1 –4 5

21(+4)-17(+5)=1

21(-4)-17(-5)=1

x₀=-5 x=-4 3=12

y₀=-4 y=-5 3=15

Общее решение : x=-12+17t

7. Сравнения. Классы вычетов по данному модулю. Арифметика и свойства сравнений.

Сравнение

a,bZ , m

a=b(mod m) |

a=b(m) | Отклонение по модулю m

b=<a>m |

(a-b) || m |

Существует множество А – это есть АхА={(a,b)| a,bA}

RAxA

R – бинарное отклонение на множестве А – это подмножество произведения декартовых множеств.

a R b

(a,b)R

a встепает в отношение с b, если (a,b)R

m – фиксированный модуль

Декартово произведение – множество пар

Выделим множество R, если два предм. a,b входят в R, то они вступают в отношение R (а вступает в отношение с b)

1. Бинарное отношение имеет характер равенства т.е. симметрия а R b => b R c

b) Транзитивность а R b => b R c => a R c

c) a R a

Теорема: 10

Все отношения сравнения по mod(m) делит все множество R на m непересекающихся классов.

1) Все числа одного класса сравнимы друг с другом.

2) Числа из разных классов не сравнимы друг с другом по mod(m)

Доказательство:

1. Рассмотрим произвольное aR и фиксироманное m

A=lm+z = любое число z можно поделить на m с остатком

0<=z<m z=r

0,1,2,…,m-1 в любой класс попадают числа которые имеют одинаковый остаток при делении на m (0,1,2,..)

2. Рассмотрим 2 элемента из одного класса

a=k(m)

b=k(m)

a=lm+k ; b=nm+k => a-b=m(l-n) || m ; a=b(m)

3. Элементы из разных классов не сравнимы по mod m

a=k(m) k=k1 => ab(m) (т.к. a-b не сравнимо m)

b=k1(m)

Теорема: 11

Свойства сравнения:

1. a=b(m) ; m||k => a-b||m => a-b||k

2. M(k₁,k₂,..k_n)=m a=b(k₁) => a-b||k₁ a=b(k₂) => a-b||k₂ => a=b(m) _……… a=b(k_n) => a-b||k_n

Любое кратное делится на НОК.

a=b(m) <=> a-b||m

3. a=b(m) => ca=cb(cm)

Арифметика сравнений

Теорема: 12

1. Сравнение по 1-му модулю можно по численно складывать и вычитать

2. Сравнение по 1-му модулю можно по численно перемножать.

Доказательство:

1. a=b(m) a-b||m => a-b+a₁-b₁||m

a₁=b₁(m) a₁-b₁||m

(a+a₁)-(b+b₁)||m <=>(a-a₁)=(b-b₁)||m

2. a=b(m) умножается на a₁ (по теоремам 11 и 3) =>

a₁=b₁(m) умножается на b

aa₁=bb₁(m)

a₁b=b₁b(m)

По транзитивности сравнимо aa₁=bb₁(m) ч.т.д.

Следствие:

Пункты 1,2 теоремы 12 можно можно обобщать на любое конечное число сравнений a=b(m) => aⁿ=bⁿ(m)

Пересекающиеся классы одинаковых остатков называют классами вычетов. Классы можно складывать и умножать между собой.

A+B=C aA, bB, a+bC

A B=D aA, bB, abD

Классов конечное число, для них легко определить таблицу Кэхи (сложение и умножение классов вычетов)

m=6 – 6 классов 0,1,2,3,4,5

+	0	1	2	3	4	5
0	0	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5	0
2	2	3	4	5	0	1
3	3	4	5	0	1	2
4	4	5	0	1	2	3
5	5	0	1	2	3	4

Левоциркулярная матрица т.е. она образуется циклическим сдвигом на 1 элемент влево.

Классы используются как элементы.

Теорема 13

ac=bc(m) D(c,m)=d => a=b(m/d) m/dZ т.к. d – делитель.

Доказательство:

D(c,d)=c

D(m,d)=m

ac-bc||m => ac-bc=lm, lZ

l=(ac-bc)/m=(a-b)c₁/m₁=>(a-b)c₁||m₁ ; D(c₁,m₁)=b₁ =>(a-b)||m₁ => a=b(m₁) =>

=> a=b(m/d)

Следствие:

1. m||c D(m,c)=C

ac=bc(m) => a=b(m/C)

2. D(m,c)=1 ac=bc(m)=> a=b(m)

Пример: 24=4(10) =>(1) 12=2(5) =>(2) 6=1(5)

Теорема: 14 Обобщение арифметических операций.

Есть некоторая функция F(a,b,c…) от целых аргументов (полином)

F(a,b,c…)= _kC_k a^a b^b c^c… a,b,cZ

Пример: a²b³c+2a⁴b+… a,b,cZ

Тогда если a=a₁(m), b=b₁(m), c=c₁(m) => F(a,b,c…)=F(a₁,b₁,c₁…) (m)

Доказательство:

a=a₁(m), a^za=a^za₁(m)

b^zb=b^zb₁(m) => a^za.b^zb=a^za₁(m)b^zb₁(m)

Утверждение: 1 Квадрат всякого нечетного числа сравнения с 1 по mod 8

4k+1 нечетное число.

(4k+1)²=16k²+8k+1=1(8)

Утверждение: 1 Нечетное число в виде 4k+3 нельзя представить в виде суммы двух квадратов.

4k+3=x²+y²

Если x,y – четные или нечетные, то получаем четное число – не подходит.

Т.е. либо x – четное, y – нет, либо наоборот

Пусть х – четное, у – нечетное.

х²=0(4) – x – четное.

y²=1(8) – y – нечетное => y²=1(4)

x²+y²=1(4), а 4k+3=3(4) => несоответствие.

Определение: m – непересекающихся классов.

Если взять из всех классов по 1 представителю, такой набор называется полной системой вычетов по модулю m.

{0,1,2,…,m-1} – наименьшая положительная система вычетов.

{0,-1,-2,…,-m+1} – наименьшая отрицательная система вычетов.

аZ {a,a+1,a+2,a+3,…a+(m-1)}

8. Функция Эйлера и ее свойства. Теорема Эйлера-Ферма.