Нахождение частного решения неоднородного уравнения

Частный случай : правая часть многочлен.

f(x+k)+a₁f(x+k-1)+…+a_kf(x)=Q(x)

^k+a₁^k-1+…+a_k=0 (*)

Q(x)=C₀+C₁x+…+C_nxⁿ

Пусть первый корень кратности S уравнения (*) S>=0

f^*(x)=A₀x^s+A₁x^s+1+…+A_nx^s+n

Пример: f(x+2)=f(x+1)+f(x) (xZ!!!)

f_n+2=f_n+1+f_n

f₀=f₁=1

x²-x-1=0 - характеристическое уравнение ₁=(1+2; ₂=(1-2

f_n=C₁₁ⁿ+C₂₂ⁿ=C₁((1+2)ⁿ+C₂((1-2)ⁿ – общее решение

С₁+С₂=0 С₁=1/

С₁+С₂=(С₁-С₂)=2 С₂=-1/

;

|110…0|

|111…0|

f_n= |0111..0|

|0..1110|

|0…111|

|0…011|

²-+1=0 | ₁=e^{i(} ;₂=e^{-i(}

C₁Cos(/3)x+C₂Sin(/3)x C₁=1

C₁Cos(/3)+C₂Sin(/3)=1 C₂=1/

f_n=Cos(/3)n+(1/)Sin(/3)n

f(x+2)-5f(x+1)+6f(x)=x²-2x+1

²-5+6=0 ₁=2

₂=3

C₁2^x+C₂3^x

f^*(x)=A₀+A₁x+A₂x²

A₀+A₁(x+2)+A₂(x+2)²-5(A₀+A₁(x+2)+A₂(x+2)²)+6(A₀+A₁x+A₂x²)=x²-2x+1

A₀=1/2; A₁=-1/6; A₂=½

½-1/6x+½x²+C₁2^x+C₂3^x – общее решение неоднородного уравнения

26. Графы: простейшие определения и свойства.

Основы теории графов

1. G=(V,E)

V={a₁,a₂,…,a_k}

E={(a,b)|aV, bV} – множество неупорядоченных пар

(a,b)=(b,a) a –––––– b

(a,a) – называется петлей

Если 2 вершины графа соединены не более, чем 1 ребром, то граф называется линейным.

V=(a,b)E

a,b называется концевыми точками ребра V, ребро V инцидентно вершинам a,b, вершины a,b называются смежными.

(a)={V=(a₁,a₂)E} : a₁=a или a₂=a } называется звездой

|(a)| - deg a число ребер в звезде = степени вершины.

Теорема: 39

|E|= ½ _aV deg a

Следствие:

Для любого графа число вершин нечетной степени четно.

Вершина a называется изолированной, если deg (a)=0

a

Вершина a называется висячей (концевой) если deg(a)=1

Пусть существует G(V,E)

V`V, E`Е

G`=(V`,E`)- подграф графа G

Граф является подграфом самого себя.

Пустой граф – подграф

Остальные графы являются собственными

Определение: Путь

a₀x₁a₁x₂…a_L-1x_La_L – a_iV, x_i=(a_i-1;a_i)

пусть длины L (т.е. длиня любого ребра = L)

a₁ a₃

a_{2 …} a_L

Если a₀ a_L (начальная вершина и конечная вершина не совпадают.), то путь называется открытым или незамкнутым, иначе путь называется циклическим, или замкнутым.

Если в пути все ребра различны x_ix_j (ij) (вершины могут совпадать), путь называется простым.

Открытый путь, где все вершины различны. a_ia_j (ij) называется цепью.

Замкнутый простой путь, где все вершины различны называется циклом.

Как ходить по графу?

1 метод. Depth first search – поиск в глубину.

Применим стек filo.

V₀ – конечная вершина. В стек если есть непомеченные смежные вершины, то идем в непомеченную вершину, доходим до нее и записываем в стек, пока не придем в помеченную вершину.

Пример:

????

2 метод. Breadth first search – поиск в ширину

Очередь (магазин) fifo

Просматриваем вершину  очередь

Записываем в очередь все смежные с ним вершины просмотренные

Пример:

????

Теорема: 40

Если существует путь из a-b то из ребер этого пути можно построить цепь.

a=a₀x₁a₁x₂a₂…x_La_L=b

x_i=(a_i-1, a_i)

Рассмотрим множество всех лучей из a₀b в которые можно построить из ребер: {x₁, x₂,…,x_L} Это множество 

Рассмотрим самый короткий путь.

a=a`<sub>0</sub>x`₁a`<sub>1</sub>x`₂a`<sub>2</sub>…x`_La`_L=b

Утверждение: a`<sub>i</sub>a`_j Если это не так, то этот кусок можно было выкинуть, и путь стал был короче. Значит наше предположение не верно. Вершины не повторяются.

Теорема: 41

Если существует замкнутый простой путь, то из его ребер можно было построить цикл.

Доказательство:

a=a₀x₁a₁x₂a₂…x_La_L=b - ребра не совпадают

Пусть вершины совпадают.

{x₁…x_L} – построим путь из этих ребер, если вершины совпадают их можно выкинуть => путь короче.

Теорема: 42

Пусть существует G=(V,E), все вершины имеют четную степень, тогда для любые ребра найдется замкнутый простой путь, содержит это ребро.

Доказательство:

x₁=(a₀,a₁) x₁ a₁ x₂

a₀ a₂

В силу четности можно…

Теорема: 43

Все вершины имеют четную степень

G=(V,E), E

То множество ребер можно представить как объединение не пересекающихся циклов.

Доказательство:

x₁ строим замкнутый простой путь для ребра (по теореме 42)

вершины могут повторяться.

a=a₀x₁a₁x₂a₂…x_ka_k Пусть a_k=a₀

Как только вершины повторяются – цикл.

Его можно удалить из графа, по вершине по прежнему – четный.

(V, E\{цикл}) и т.д.

Получим объединение циклов

Следствие к теореме 43

Для любого ребра существует цикл содержащий это ребро (x)

Следствие 2.

ВграфеG существует 2 цепи, содержащие вершины, a и b тогда из ребер этих цепей можно построить цикл.

ab, цепь p₁,p₂ b

a

27. Связность. Теорема Эйлера.