Рекуррентное уравнение (Уравнение в конечных разностях)

f(x) – определим на множестве натуральных чисел x=0,1,2,…f(x)

f(0),f(1),f(2),…

f₀ f₁ f₂ … f_n=f(n)

Конечные разности

f(x)=f(x+1)-f(x)

^f(x)=f(x+1)-f(x)

^f(x)=^f(x+1)-^f(x)

… … …

^f(x)=^f(x+1)-^f(x)

Это аналог производных

Свойства конечных разностей:

Теорема: 32

1)^pf(x)=^p_i=0(-1)^p-iC_i^pf(x+1)

2) f(x+p)=^p_k=0C_k^p^kf(x)

Линейные рекуррентные уравнения порядка k

Определение:

^kf(x)+a₁(x)^k-1f(x)+…+a_k(x)f(x)=Q(x) (*)

Для любого i, а_i(x) известно => f(x)

Если Q(x)=0, то уравнение называется однородным в противном случае, оно называется неоднородным.

По теореме 32 любая разность в (*) можно записать в виде функции.

(*) <=> f(x+k)+P₁(x)f(x+k-1)+P₂(x)f(x+k-2)+…+P_k(x)f(x)-Q(x)=0

f(x+k)+ ^k_s=1 P_s(x)f(x+k-s)=Q(x) (1) Если Q(x)=0 (1*)

³f(x)+3f(x)+2f(x)=0

f(x+3)+3f(x+2)=0

Лемма: Любое решение такого уравнения k-го порядка определяется набором k функций

{f₀, f₁,…,f_k-1}

Доказательство:

?????

Теорема: 33

Если f₁(x), f₂(x)…f_p(x) – решение (1*), то их линейная комбинация, тоже решение (1*) (x)=^p_i=1 C_if_i(x)

f(x+k)+^k_s=1 P_s(x)f(x+k-s)=0

P₀(x)=1

^k_s=1 P_s(x)f(x+k-s)=0

^k_s=1 P_s(x)(x+k-s)=^k_s=1 P_s(x)^p_i=1 C_if_i(x)=^p_i=1 C_i^k_s=1 P_s(x) f_i(x)

^k_s=1 P_s(x) f_i(x)=0

Теорема: 34

Известно k решений (1*): f₁(x),…,f_k(x)

D[f₁(0),…,f_k(0)]0

f_ij=f_j(i-1)

f(x)=^k_i=1C_if_i(x)

Доказательство:

Если функция представлена в виде f(x)=^k_i=1C_if_i(x), то по теореме 33 она является решением.

Пусть f(x) – решение, по лемме существуют {f_0, f₁…f_k-1}

Рассмотрим {(x)=^k_i=1C_if_i(x)}

Выберем (x) такую, что она совпадает с f(x) в k точках {f_0, f₁…f_k-1}

_=(0)= C₁f₁₁+C₂f₁₂+…+C_kf_1k=f₀

…….

_=(k-1)= C₁f_k1+ C₂f_k2+…+C_kf_kk=f_k-1

Получаем систему линейных уравнений с определителем 0 => существует тривиальное решение => можно найти C_i , т.е. любое решение представимо в таком и только таком виде f(x)=^k_i=1C_if_i(x)

Определение:

Набор решений уравнения (1*) {f₁(x)…f_k(x)}

Называется линенонезависимым, если линейная комбинация для любых С_i

^k_i=1C_if_i(x)=0 при  |C_i|

(если есть хотя бы 1 х=0,1,2, то невыполнимо)

Если для любого набора С_i нетривиальных, рав-во не выполнимо хотя бы для 1 х.

Теорема: 35

Если {f₁(x)…f_k(x)} … ЛНЗ, то D[…]0 (Теорема 34) (Обратное неверно)

Теорема: 36

Рассмотрим уравнения (1), (1*):

Их общее решение можно представить в виде суммы частного решения (1) и общего решения (1*)

Доказательство:

Пусть известно решение (1) f*(x) и набор решений {f₁(x),…,f_k(x)}, т.е. известны все решения (1*)

D[f₁(0)…f_k(0)]

Тогда: f(x)=f*(x)+^k_i=1C_if_i(x)

Очевидно, что любая функция представленная в таком виде, является решением (1),f(x+k)=^k_S=1P_s(x) f(x+k-s)=Q(x)

Рассмотрим произвольное решение (1) f(x)=f*(x)+(x)

Подставим f(x) в (1): ^k_s=0P(x)[f*(x+k-s)+(x+k-s)]=Q(x)

^k_s=0P(x)f*(x+k-s)+^k_s=0P(x)(x+k-s)]=Q(x) и ^k_s=0P(x)f*(x+k-s)=Q(x) => ^k_s=0P(x)(x+k-s)]=0

Частный случай: Линейные рекуррентные однородные уравнения порядка k с постоянными коэффициентами

F(x+k)+a₁f(x+k-1)+…+a_kf(x), a_iR

Будем искать решения в виде f(x)=^x

^x+k+^x+k-1a₁+…+^xa_k=0 : ^x0

^k+^k-1a₁+…+a_k=0 - характеристическое уравнение, линейного рекуррентного однородного уравнения порядка k.

Теорема: 37

Если все корни характеристического уравнения различны {_,_,…,_k: _i_j}, то линейно независимое решение линейного рекуррентного однородного уравнения порядка k представимо в виде.

{_^x,_^x,…,_k^x}

Доказательство: (от противного)

=

=(₁,₂,…,_k)^x_i>j(_i-_j)

Пусть существуют не тривиальные C_i : ^k_i=1C_if_i(x)=0 x=0,1,…,k-1

^x0, если _k=0, то по теореме Виета для характеристических уравнений

a_k=₁…_k => _k=0, то a_k=0

f(x+k)+a₁f(x+k-1)+…+a_k-1f(x+1)=0, т.е. если _k=0, то уравнение можно свести к уравнению меньшего порядка.

f(x+k)+a₁f(x+k-1)+…+a_kf(x)=0

^k+a₁^k-1+…+a_k=0 - существует k корней

{_^x,_^x,…,_k^x }

C₁_^x+C₂_^x+…+C_k_k^x

Если все корни различны.

Пусть существует _iC _i=r e^i=r(cos +i Sin )=>

существует _jC _j=_i =r(cos i Sin ) (если вещественные коэф)

C_i_i^x,C_j_j^x – можно заменить на

С_i r^x(cos x), С_j r^x(sin x), а система решений останется линейно независимой

Теорема: 38

Пусть ^k+a₁^k-1+…+a_k=0 имеет корни различной кратности

₁ – p₁; ₂ – p₂ ; … ; _n – p_n

p₁+p₂+…+p_n=k

Любой корень дает столько решений, какова его кратность

Пример: ₁={₁^x, x₁^x, x²₁^x,…, x^P1-1₁^x,

₂^x, x₂^x, x²₂^x,…, x^P2-1₂^x,

…. … … …

_n^x, x_n^x, x²_n^x,…, x^Pn-1_n^x}

Чтобы решить однородное уравнение:

1. Найти характеристическое уравнение

2. Найти все его корни