Основы теории делимости

Пусть есть a,bZ

N,Z,Q,R,C – множества чисел

Теорема:о делимости целых чисел

Для любых a,bZ существуют единственныеq, r такие, что 0<=r<|b| a=bq+r

q=[a/b] r={a/b}

Если r=0, тоa||b (a кратноb)

Теорема 1:Свойства деления

1. a||b, b||c => a||c (транзитивность)

2. a₁,a₂, … ,a_k | => _,_, … ,_k

a_i||c |

^k_i=1a_i_i||c

Если любое а кратно с, то линейная комбинация тоже кратно с

Существует max(a,b)<=M(a,b)<=ab

Определение:

Существует a,b a||d, b||d D(a,b) – НОД

1<=D(a,b)<=min(a,b)

Определение:

a,b называются взаимно простыми, еслиM(a,b)=1

Теорема 2:Свойства НОД и НОК

1) a₁,a₂, … ,a_k

m||a₁, m||a₂, … , m||a_k m||M(a₁,a₂, … ,a_k) НОД||НОК

Доказательство:Пустьm=M(a₁,a₂, … ,a_k)q+r 0<r<M(a₁,a₂, … ,a_k)

r=m-M(a₁,a₂, … ,a_k)q => r||a₁,a₂, … ,a_k (т.к.m||a₁,a₂, … ,a_k) =>наше предположение неверно r=0

2) a₁,a₂, … ,a_k d₁,d₂, … ,d_k

D(a₁,a₂, … ,a_k)=M(d₁,d₂, … ,d_n)

Доказательство:a_i||d₁, a_i||d₂, … , a_i||d_n т.е. а_i – кратное

a_i||M(d₁,d₂, … ,d_n), M(d₁,d₂, … ,d_n)||d_j

3. ab=D(a,b)M(a,b)

Доказательство:?????

Пусть есть a₁,a₂, … ,a_k

Как найти D(a₁,a₂, … ,a_k)?

Пусть D(a_i,a_j) известно, тогда

d₁=D(a₁,a₂); d₂=D(d₁,a₃); d_k-1=D(d_k-2,a_k)

Утверждение:

ab||c и(a,c)=1 => b||c

Определение:

а называется простым если а||a илиa||1и у него нет других делителей.

Теорема:3 Свойства простых чисел.

1. a,p (p – простое) a||p илиa||b (b,p)=1

2. ab||p => a||p илиb||p

3. a1, существует простой делитель

p=min{d₁,d₂, … ,d_k} – простое

Основная теорема теории чисел Теорема: 4

a=p₁p₂…p_k=p^aq^br^c (p,q,r – простые числа)

Доказательство:

1. a=a₁p₁, если а₁>1, тоa₁=a₂p₂

2. Существует единственная комбинация разложения числа на простые сомножители, a=p₁p₂…p_k=q₁q₂…q_k (p,q – простые)

По теореме 3 – p_i||q₁, p_j||q₂

Нахождение простых чисел в интервале от 1 до N

Алгоритм:

S1 p₁=2, k=1

k+1 P_k

P_k>N остановка, числа можно просматривать доN или до[N]+1

Теорема:5 Евклида

Множество простых чисел бесконечно

Доказательство:Пусть множество конечно{p₁,p₂…p_k}

Следующее простое число это произведение предыдущих плюс 1, т.е.

p_k+1=p₁p₂…p_k+1

Дано: aZa=p^aq^br^c…

{p₁,p₂…p_k}

2=p₁<p₂<…<p_k

k,i Step0 k=1, i=1

Step1 a=1 => stop

a=p_kq+r if r=0 => Step3

Step2 r=0 d_i=p_k, i=i+1 => Step1

Step3 r0k=k+1 => Step1

Алгоритм Ферма

a=xy, a=u²-v²=(u-v)(u+v)

R(u,v)=u²-v²-a остановка приR(u,v)=0

R(u,v)<0 V=V+1

R(u,v)>0 U=U+1

R(u+1,v)=(u+1)²-v²-a=u²-v²-a+(2u+1)=R(u,v)+2u+1

R(u,v+1)=u²-(v+1)²-a=u²-v²-a-(2v+1)=R(u,v)-2u-1

Алгоритм Евклида и цепные дроби.

D(a,b) - ?

D(a,b)=D(a-bq,b) a-bq+r

a=bq₀+r₀ D(b,r₀)

b=r₀q₁+r₁ D(r₀,r₁)

r₀=r₁q₂+r₂ D(r₁,r₂)

… … …

r_k-2=r_k-1q_k+r_k D(r_k-1,r_k)

r_k-1=r_kq_k+1

Бинарный алгоритм

1. a,b – четные => D(a,b)=2D(a/2,b/2)

2. a – четное, b – нечетное => D(a,b)=D(a/2,b)

3. D(a,b)=D(a-b,b)

4. a,b – нечетные=> a-b – четное

5. |a-b|<max{a,b} a,b>0

S₁ k=0

k=k+1, a=a/2, b=b/2 (покаa,b четные)

S₂ a – нечетное => tmp=-b goto S₄

а – четное => tmp=a

S₃ tmp=tmp/2

S_4a if (tmp – четно)=> goto S₃

S₄ if (tmp>0) then a=tmp

Else b=-tmp

S₅ tmp=a-b

Tmp=0 stop

D(a,b)=2^ka

Goto S₃

Пример:

a b tmp

76501 29719 -29719

76501 29719 40782 23391

23391 29719 -6328 -3164 -1522 -791

23391 791 22600 11300 5650 2825

2825 791 2034 1017

1017 791 226 113

113 791 –678 -229

113 339 -226 -113

113. 113