Теорема Эйлера-Ферма (Малая теорема Ферма)

Есть 2 числа D(a,m)=1тогда утверждается

a^(m)=1(mod m)

Ферма доказал сначала для m-простое число.

Доказательство:

(m)= m – любое число

 - классов вычетов

Возьмем из каждого класса  представителей.

a₁, a₂, a₃… a_, | D(a_i,m)=1

aa₁, aa₂, aa₃… aa_, | D(aa_i,m)=1 каждый из этих чисел попадает в класс

Докажем,что ни один элемент не попадает в один и тот же класс.

Пусть aa_i=aa_j(m) => a_i=a_j(m) т.к.D(a,m)=1, ноa_ia_j(m) т.к. мы определили их из разных классов вычетов.

Т.е. aa₁, aa₂, aa₃… aa_ - попадает в класс 1 раз.

a_n иaa_m – попадают в один и тот же класс.

aa_ki=a_i(m) – для каждогоi

a₁=aa_k1(m)

a₂=aa_k2(m)

….

a_=aa_k (m)

a₁a₂…a_=a^(a_k1,_a_k2,.. a_k)(m) => a^=1(m) =(m)

т.е. a^(m)=1(mod m)

Следствие:

Если p- простое, то

a^(p)=1(mod p)

a^p-1=1(p)

a^p=1(p) – то что доказал Фермаb

Решение сравнений в первой степени.

x²=1(mod 8)

ax=b(mod m) – сравнения первой степени.

х₀– единственное решение

х₀+tm – тоже решение.

Теорема:19

d=D(a,m) для того, чтобы сравнение решение было, нужно, чтобыb||d

x₀, x+m/d, x₀+2m/d,…,x₀+(d-1)m/d

Доказательство:

ax=b(mod m) (ax-b)/m ax-b||m т.е. существует

y – такое, чтоax-b=my => ax-my=b – Диафантово уравнение

когда D(a,m)||b т.е.d||b и все решения

x=x₀+(m/d)t

т.е. всего различных классов вычетов d

Пример:

38x=4(26)

m/d=13

38x-26y=4

19x-13y=2

x₀=-4 => x₀=-4(26) x₁=9(29) – два класса вычета.

2-й способ решения сравнений на основе теоремы Эйлера-Ферма.

ax=b(m) D(a,m)=1 a,b,m можно||d

a^(m)=1(mod m) умножим наb

a^(m)b=b(m)

a (a^(m)-1b)=b(m) => x=(a^(m)-1b)

Пример:

11x=15(24) D(24,11)=1 15||1

(m)=2³ 3=24((2-1)/2)((3-1)/3)=24^.2/6=8

x₀=11^7.15(mod 24)

11²=1(mod 24)

11⁶=1(mod 24)

11⁷=11(mod 24)

11^7.15=165(mod 24)=-3(24)

Теорема: Вильсена

P – простое число тогда и только тогда, когда (p-1)!+1||p

Доказательство:

1. p – простое число

Докажем (p-1)!+1||p

Для p>3

a не кратноpт.е.D(a,p)=1, тогда ax=1(p) и имеет ровно 1 класс т.к.D(a,p)=1=d

d – решений, т.к.d=1 => 1 решение.

x=b(p) – класс решений,

b принадлежит{1,2,3…(p-1)}

тогда а принадлежит одному из классов т.е. для любого bесть а, такое чтоab=1(p).

Если a=b, тогдаa²=1(p)

(a-1)(a+1)||p, отсюдаa=1(p) илиa=-1(p)

a=b тогда если а=1, либоa=p-1, для всех остальных аb

Возьмем все эти сравнения и перемножим

2^.3^.4…(p-a)=1(p) до множим(p-1)=-1(p) =>

(p-1)!+1||p

A=>B  не B=> неA

Если из A следует В, то из не В следует не А

Тогда если (p-1)!+1||p тоp простое =>

Если p – не простое, тогда(p-1)!+1 не кратноp

P – составное, тогдаD(p-1)!,p)>1=d, тогда (p-1)!+1 не кратноp т.к. единица, должна быть кратнаd.

т.е. p – простое.

Китайская теорема об остатках

x₁=c₁(m₁) D(m_i,­m­_j)=1

x₂=c₂(m₂) есть набор взаимнопростыхm_i,m_j

…. И есть остатки х от деления наm_i,m_j

x_k=c_k(m_k)

<x>_m1=c₁ C1 C2 Ck код числа

<x>_m2=c₂

…

<x>_mk=c_k

т.е. существует решение x и все сравнения лежат в классе вычетов по модулю (m₁,m₂,…m_k)

Докажем, как по китайскому коду восстановить число

c₁=0; c₂=2; c₃=3;

m₁=3 ; m₂=5 ; m₃=8;

M=m₁m₂m₃=120

M₁= m₂m₃=40 M₁x₁=1(3) 40x₁=1(3) x₁=1

M₂= m₁m₃=24 M₁x₁=1(5) 24x₁=1(5) x₁=4

M₃= m₁m₂=15 M₁x₁=1(8) 15x₁=1(8) x₁=7

x=_i=1³((x_iM_i)c_i)=40^.0^.1+24^.4^.2+15^.3^.7=507(120)=27(120)