- •Основная теорема теории чисел Теорема: 4
- •Алгоритм Ферма
- •Бинарный алгоритм
- •Разложение числа в цепную дробь
- •Вычисление подходящих дробей
- •Диафантовы уравнения
- •Сравнение
- •Арифметика сравнений
- •Функция Эйлера и ее свойства.
- •Теорема Эйлера-Ферма (Малая теорема Ферма)
- •Решение сравнений в первой степени.
- •Теорема: Вильсена
- •Китайская теорема об остатках
- •Многочлены
- •Наибольший общий делитель
- •Алгоритм Евклида для 2-х многочленов
- •Частный случай теоремы 23
- •Приближенная интерполяция
- •Метод наименьших квадратов
- •Полиномиальное кодирование.
- •Коды Шеннона-Фено
- •Алгоритм Хоффмана.
- •Лексикографический порядок
- •Антилексикографический порядок
- •Алгоритм лексикографического порядка
- •Бинарный код Грея
- •Числа Стирлинга первого и второго рода
- •Числа Стирлинга
- •Числа Белла
- •Разбиение чисел
- •Рекуррентное уравнение (Уравнение в конечных разностях)
- •Линейные рекуррентные уравнения порядка k
- •Нахождение частного решения неоднородного уравнения
- •Основы теории графов
- •Связность
- •Алгоритм построения Эйлеровой цепи.
- •Деревья
- •Коциклы
- •Элементы теории вероятности
Многочлены
Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn=i=1n((aixi)
aiQ,R,C
an0, то deg Pn=n an=1
Теорема: 22 О делении с остатком
Pn(x), Qm(x)
Существует единственное Rn-m(x) и Sm-1(x): Pn(x)=Qm(x).Rn-m(x)+Sm-1(x)
Deg Sm-1(x)<=m-1
Доказательство:
Qm(x), n=deg Pn(x)
n<x
база: Pn(x)=Qm(x).0(x)+Sm-1(x)
индукционный переход:
Pn-1(x)=Qm(x)Rn(x)+Sn(x)=>
Pn(x)=Qm(x).Rn-m(x)+Sm-1(x)
(Rn-m(x)-Rn-m(x))Qm(x)=(Sm-1(x)-Sm-1(x)) справедливо если Rn-m(x)=Rn-m(x) иначе противоречие.
Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn
Qm(x)=b0+b1x+b2x2+…+bmxm
Pn(x)=Qm(x).Rn-m(x)+Sm-1(x)
Rm(x)=z0+z1x+z2x2+…+zn-mxn-m
Sm(x)=s0+s1x+s2x2+…+sm-1xm-1
S1 k=n-m
S2 Zk=am+n/bm
aj=aj-Zkbj-k
j=m+k-1, m+k-2,…,k
S3 k=k-1 if (k>=0) goto S2
Else stop
Pn(x)=Qm(x).Rn-m(x)+Sm-1(x)
Sm-1=0 => Pn(x)||Qm(x)
Схема горнера:
Qm(x)=x-c
m=1 ; b1=1, b2=-c
k=n-1, n-2, … ,0
rk=ak+1 ; ak=ak+1c+ak
P(x)=Q(x)(x-c)+r
r=P(c)
Pn=Q0+a1x+a2x2+…+anxn=(anx+an-1)x+an-2)x+an+3)
Алгоритм Евклида для многочленов. Линейное представление НОД.
Наибольший общий делитель
НОД для Pn(x) и Qm(x) это многочлен наибольшей степени общих делений Pn(x) и Qm(x).
D(Pn(x),Qm(x))
Алгоритм Евклида для 2-х многочленов
D(P1(x),P2(x))
P1(x)=P2(x) Q1(x)+R1(x)
deg R1(x)<deg P2(x)
P2(x)=R1(x) Q2(x)+R2(x)
deg R2(x)<deg R1(x)
R1(x)=R2(x) Q3(x)+R3(x)
deg R3(x)<deg R2(x)
……..
Rn-2(x)=Rn-1(x) Qn(x)+Rn(x)- НОД
Rn-1(x)=Rn(x) Qn+1(x)
Пример:
D(x4+x3-3x2-4x-1, x3+x2-x-1) типовая задача
n=4, m=3, k=1
1 1 -3 -4 1 1 1 –3 –4 -1
a4 a3 a2 a1 a0 1 1 –1 –1
0 –2 –3 -1
-2 -3 -1
1=a4/b3=1
aj=aj-bj-1.r1
r0=a3/b3=0
aj=aj-bj-1.(j={2,1,0})
x4+x3-3x2-4x-1=(x3+x2-x-1)(x+0)+(-2x2-3x-1)
(x3+x2-x-1)=(-2x2-3x-1)(-x/2+1/4)+(-1/4x-1/4)
(-2x2-3x-1)=(-1/4x-1/4)(8x+4)+0
НОД: x+1
d(x)=D(P(x),Q(x))=>Существует единственные U(x),V(x):P(x)U(x)+Q(x)V(x)=d(x)
(доказывается обратным ходом алгоритма Евклида)
v0(x)=0
v1(x)=1
….
Vi+1(x)=vi-1(x)-Qk+1-i(x)vi(x)
v(x)=vk+2(x)
u(x)=vk+1(x)
d(x3-2, x2-3x+2)=x3-2=(x2-3x+2)(x+3)+7x-8
x2-3x+2=(7x-8)((1/7)x-(13/49))-6/49
7x-8=-6/49(-943/6x+169/3)+0
D(x3-2, x2-3x+2)=1
|
|
(1/7)x-(13/49) |
X+3 |
0 |
1 |
-(1/7)x+(13/49) |
(1/7)x2+(9/49)x+(10/49) |
-(6/49)=(x3-2)(-(1/7)x+(13/49))+(x2-3x+2) ((1/7)x2+(9/49)x+(10/49))
Китайская теорема об остатках для многочленов. Интерполяционная формула Лагранжа.
Теорема: 23 Китайская теорема об остатках для многочленов
Существует P0(x), P1(x),…,Pk-1(x) : (Pi(x),Pj(x))=1, i+j
<S(x)>Pi(x)=Ui(x) (*) - китайский код многочлена
ui=deg(Pi(x)
N=n0+n1+…+nk-1
Существует единственный S(x): deg S(x)<N, который удовлетворяет (*)
Доказательство:
C(x)=Пi=0k-1Pi(x)
Cj(x)=C(x)/Pj(x)
<Dj(x)Cj(x)>Pj(x)=1 (Mixi=1(mj)
S(x)=<i=0k-1Di(x) Ci(x) Ui(x)>C(x)
Пример:
P0(x)=x2-2
P1(x)=x2-3x+2
U0(x)=1, U1(x)=1
C(x)=(x3-2)(x2-3x+2)=x5-3x4+2x3-2x2+6x-4
C0(x)=x2-3x+2
C1(x)=x3-r
<D0(x), C0(x)>Po(x)=1
<D1(x), C1(x)>P1(x)=1 => D0(x) (x2-3x+2)=1(x3-2)
D0(x)=(-7/6)x2-(4/3)x-(5/6)
D1(x)=(-7/6)x-(13/6)
S(x)=P0(x)D0(x)+ P1(x)D0(x)