- •Основная теорема теории чисел Теорема: 4
- •Алгоритм Ферма
- •Бинарный алгоритм
- •Разложение числа в цепную дробь
- •Вычисление подходящих дробей
- •Диафантовы уравнения
- •Сравнение
- •Арифметика сравнений
- •Функция Эйлера и ее свойства.
- •Теорема Эйлера-Ферма (Малая теорема Ферма)
- •Решение сравнений в первой степени.
- •Теорема: Вильсена
- •Китайская теорема об остатках
- •Многочлены
- •Наибольший общий делитель
- •Алгоритм Евклида для 2-х многочленов
- •Частный случай теоремы 23
- •Приближенная интерполяция
- •Метод наименьших квадратов
- •Полиномиальное кодирование.
- •Коды Шеннона-Фено
- •Алгоритм Хоффмана.
- •Лексикографический порядок
- •Антилексикографический порядок
- •Алгоритм лексикографического порядка
- •Бинарный код Грея
- •Числа Стирлинга первого и второго рода
- •Числа Стирлинга
- •Числа Белла
- •Разбиение чисел
- •Рекуррентное уравнение (Уравнение в конечных разностях)
- •Линейные рекуррентные уравнения порядка k
- •Нахождение частного решения неоднородного уравнения
- •Основы теории графов
- •Связность
- •Алгоритм построения Эйлеровой цепи.
- •Деревья
- •Коциклы
- •Элементы теории вероятности
Бинарный код Грея
(0,0,0,1,1,1) Очень сильно отличаются друг от друга
(0,0,1,0,0,0)
Задача: Сделать расстояние между соседними элементами отличающееся на 1.
Вk=(0,0,…,0) – первый набор
i=0,1,2,…,2n-1
{
p=Q(i) Q- функция которая вычисляет степень двойки
B[p]=1-b[p] (если бы 0, будет 1 и наоборот)
}
Q(i):
{
q=1
while (i-четное)
{i=i/2;
q=q+1
}
return Q: (возврат Q)
}
n=1 для n B1 1, B2 1, … ,B2n 0
{0},{1} для n+1 B1 0, B2 0 … ,B2n 1
Q(2k+m)=Q(2k-m)
Пример:
i |
P |
B |
i |
P |
B |
0 |
0 |
0000 |
8 |
4 |
1100 |
1 |
1 |
0001 |
9 |
1 |
1101 |
2 |
2 |
0011 |
10 |
2 |
1111 |
3 |
1 |
0010 |
11 |
1 |
1110 |
4 |
3 |
0110 |
12 |
3 |
1010 |
5 |
1 |
0111 |
13 |
1 |
1011 |
6 |
2 |
0101 |
14 |
2 |
1001 |
7 |
1 |
0100 |
15 |
1 |
1000 |
Числа Стирлинга первого и второго рода и их свойства. Треугольник Стирлинга.
Числа Стирлинга первого и второго рода
S – второго рода; s (малая) – первого рода
Числа Стирлинга второго рода – S(n,k) – число разбиений n элементного пространства на k не пересекающихся подмножеств.
S(4,2) = 7 {1,2,3,4} | {1,2,3} {4}
{1,2,4} {3}
{1,3,4} {2}
{2,3,4} {1}
{1,2} {3,4}
{1,3} {2,4}
{1,4} {2,3}
Свойства чисел Стирлинга
S(0,0)=1
S(n,k)=0 при k>n
S(n,0)=0
S(n,n)=1
S(n,k)=S(n-1,k-1)+kS(n-1,k) 0<k<n
Доказательство:
Рассмотрим разбиение n множества на k не пересекающихся подмножеств.
Разбиение: Разобьем на 2 группы:
{n} {n…}
Разбиение содержит только n в комбинации с другими элементами элемент
Остается n-1, разбиваем на k-1 n выбран, n фиксировано, но k подмножеств.
S(n-1,k-1) + k S(n-1,k)
В каждом подмножестве S(n-1,k) можно добавить n и увеличим в k
Треугольник Стирлинга.
N\k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
1 |
3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
4 |
1 |
25 |
6 |
1 |
0 |
0 |
5 |
1 |
15 |
25 |
10 |
1 |
0 |
6 |
1 |
31 |
90 |
65 |
15 |
1 |
S(2,1) = S(1,0)+ 1 S(1,1)=1
S(n,1)=1
S(3,2)=S(2,1) + 2 S(2,2)
Числа Стирлинга
Определение: Факториальный многочлен
[x]k=x(x-1)…(x-k+1)
Пример: [x]1=x [x]2=x(x-1)
Теорема: 29 Биномиальная теорема Вандельмонда
[x+y]n=nk=0 Ckn[x]k[y]n-k
P(x)=nk=0 axXk
S[n,k] – матрица перехода от обычного к ортогональному.
{1,x,x2…xn} базис пространства
{1,[x]1,[x]2,…,[x]n} – базис многочленов пространства многочленов
Числа Стирлинга второго рода xn = nk=0 S[n,k][x]k
Числа Стирлинга первого рода [x]n=nk=0 xk s[n,k] – матрица перехода от ортогонального базиса к обычному базису.
Свойства чисел Стирлинга
s(n,0)=0, n>0
s(n,n)=1
s(n,k)=s(n-1,k-1)-(n-1)S(n-1,k)
Доказательство:
[x]n=[x]n-1(x-n+1) по определению биномиального многочлена
[x]n=nk=0 s(n,k)xk =(по определению чисел Стирлинга 1 рода)
=(n-1k=0 s(n-1,k)xk)(x-n+1)= (n-1k=0 s(n-1,k)xk+1)-(n-1)n-1k=0 S(n-1,k)xk) =
=S(n-1,k-1)xk+(n-1k=0 S(n-1,k-1)xk)-(n-1)n-1k=0 S(n-1,k)xk) -(n-1)S(n-1,0)xk)=
xn+(n-1k=0 S(n-1,k-1)-(n-1)n-1k=0 S(n-1,k))xk
xn – уйдет вместе с чл если поменять до n-1 в начале