Функция Эйлера и ее свойства.

Определение: (m) mN она определяется для всех натуральных чисел.

(1)=1, (m), m>1

(m) – это число чисел меньших m и взаимно простых с m.

(3)=2 (1,2)

(5)=4 (1,2,3,4)

Теорема: 15

m=pⁿ – степень простого числа, тогда

( pⁿ)=pⁿ(1-1/p)

Доказательство:

Выпишем все делители pⁿ - p,2p,3p…, pⁿ-p.

Всего этих чисел - p^n-1-1

Всего чисел в интервале (1, pⁿ) - pⁿ-1

Чтобы найти все взаимнопростые числа надо из pⁿ-1 вычесть p^n-1-1= pⁿ-p^n-1= pⁿ(1-1/p).

Теорема: 16

Имеется 2 взаимно простых числа D(a,b)=1

x- пробегает полную систему вычетов по модулю a.

y- пробегает полную систему вычетов по модулю b.

Тогда.

1) Z=ay+bx=1 пробегает полную систему вычетов по модулю ab.

2) и D(Z,ab)=1 тогда и только тогда, когда D(a,x)=1 и D(b,y)=1

Доказательство:

X – может принимать a значений, y – может принимать b значений

Тогда их комбинация ay+bx принимает ab значений

Покажем, что каждое значение Z не сравнимо друг с другом по модулю ab, т.е. что все значения Z образуют систему вычетов по модулю ab.

Доказательство:

1. Z₁=ay₁+bx₁ покажем, что они не сравнимы с Z₂=ay₂+bx₂

Пусть аy₁+bx₁=ay₂+bx₂(ab), тогда

аy₁+bx₁=ay₂+bx₂(a)

аy₁+bx₁=ay₂+bx₂(b) =>

a(y₁-y₂)=0 => bx₁=bx₂(a)

b(x₁-x₂)=0 => ax₁=ax₂(b), но по условию теоремы D(a,b)=1

По следствию 2 теоремы 13 x пробегает полную систему вычетов по mod а, т.е. x₁=x₂, y₁=y₂ – т.к. из разных классов по 1 элементу, а они не сравнимы).

т.е. Z₁=Z₂ т.е. Z- несравнимо друг с другом по модулю ab, т.е. Z – пробегает полную систему вычетов по модулю ab.

2. D(Z,ab)=1, тогда D(a,x)=1 D(y,b)=1

Доказательство:

Z=ay+bx

D(ay+bx,ab)=1 => D(ay+bx,a)=1 и D(ay+bx,b)=1

Т.к. D(a,b)=1, то D(bx,a)=1 т.к. если D(bx,a)1 то D(ay+bx,a)1

D(ay,b)=1 т.к. D(a,b)=1

D(x,a)=1 и D(y,b)=1

Следствие к теореме 16

Если D(a,b)=1, тогда (ab)=(a)(b)

Доказательство: по теореме 16.

x- пробегает полную систему вычетов по модулю a. =>

{0,1,2,…(a-1)}

(a): D(x,a)=1.

y- пробегает полную систему вычетов по модулю b. =>

{0,1,2,…(b-1)}

(b): D(y,b)=1.

Если Z- пробегает полную систему вычетов по модулю ab. =>

Z=ay+bx

(ab): D(z,ab)=1.

(a)(b) условие D(x,a)=1 и D(y,b)=1 по теореме 16 (2) D(z,ab)=1 => (ab)=(a)(b).

Если есть попарно взаимные числа D(a,b)=1 D(a,c)=1 D(c,b)=1, тогда (abс)=(a)(b)(с). Справедливо для любого числа сомножителей.

Следствие: 2 Формула Эйлера для любого числа mZ и запишем его в каноническое разложение – m=p^aq^br^c…

(m)=(p^a)(q^b)(r^c) по следствию 1.

По теореме 15 (m)=p^a(1-1/p) q^b(1-1/q) r^c(1-1/r)…= m(1-1/p)(1-1/q)(1-1/r) – формула Эйлера для любого целого числа.

Пример:

(17)=16

m=60=2^2.3^.5

(m)=60(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)=16

Теорема: 17

Формула Гаусса.

Возьмем m.

Сумма всех функций Эйлера по всем делителям числа m – есть само число m.

Доказательство:

m=p^aq^br^c…

Заметим, что любой делитель m-d=p^aq^br^c…

Где 0<=a₁<=a

0<=b₁<=b

0<=c₁<=c

[1+(p)+(p²)+…+(p^a)]x[1+(q)+(q²)+…+(q^b)]x[1+(r)+(r²)+…+(r^c)]x…

(p)(q)(r)…=(p^aq^br^c)…=_d(d) (По свойству мультиплекативности)

0<=a₁<=a

0<=b₁<=b

0<=c₁<=c

[1+p-1+p²-p+…+pⁿ-p^n-1](pⁿ)=pⁿ(1-1/p)

Из первой скобки получим p^a из второй q^b из третьей r^c и.т.д.

p^aq^br^c…=m