Коциклы

G=(V,E)

Коцикл – минимальное количество ребер при удалении одного из них граф теряет связанность. C=E`E G`=(V,E\C)

Минимум: Что ни какое собственное подмножество С этим свойством не обладают

{x₁,x₂} - коцикл x₃ ^x1

{x₁,x₂,x₃} - не является коциклом, т.к. {x₁,x₂} его подмножество _x2

Определение: Пусть есть связанный граф G=(V,E)

C – его коцикл

G=(V,E\C)

Получим у G` несколько компонент связности k>=2

Пусть k=3

(V₁,E₁), (V₂,E₂), (V₃,E₃)

т.к. G связан, то существует ребро x, которое соединяет (V₁,E₁) и (V₂,E₂) и оно принадлежит С, тогда если рассмотреть множество С-х (С\{x}), то все равно граф несвязан, но мы получим множество С-х – коцикл, этого не может быть, т.к. мы предположили, что k=3, a k=2, т.е. при удалении ребер принадлежащих С, граф распадается на 2 компоненты связности.

Ребра коцикла обладают свойством: (они не соединяют V₁ и E₁, V₂ и E₂), они должны соединять V₁ и V₂.

Теорема: 53 При удалении ребра коцикла, он распадается на 2 компоненты связности и ребра коцикла соединяют вершины одной компоненты связности с другой.

Следствие: Любой Цикл и любой коцикл связанного графа имеют четное число общих ребер.

Доказательство:

(1) а (2)

1. Если цикл принадлежит (1) и не пересекается с ребром коцикла, четно.

2. Если цикл пересекается с ребрами, коцикла, то нужно пройти четное число раз, туда и обратно.

Каждой ветви каркаса ставиться главный цикл.

Есть связанный графC=(V,E), есть каркас.

T=(V,E) рассмотрим модуль, ветвь этого каркаса – она является коциклом для дерева (каркаса) и ребро разобьется на 2 компоненты связности.

(V₁,E₁`), (V<sub>2</sub>,E<sub>2</sub>`)

Е`` - ребра, которые являются хордами исходного графа, которые соединяют V₁–V₂ тогда главный коцикл – эти хорды + та ветвь, которую удалили.

Число главных коциклов – это коранг графа.

30. Элементы теории вероятностей. Условные вероятности и формула Байеса.

Элементы теории вероятности

1. Основное определение S={a₁,a₂,…,a_n} конечное множество S элементарных событий или исходов.

Элементы этого множества являются равновероятными. Любое произвольное событие А – это подмножество S (элементарных событий)

AS

Любые события и для элементарных вводятся понятие вероятность P(A).

Из множества S она переводит в отрезок [0,1] каждому событию сопоставляет число из [0,1] по правилу P(A)=|A|/|S| . Берем самое элементарное событие и делим его на все.

P(0)=0 |A|=0

P(1)=1 |S|=|A|

1. Если событие АВ P(A)<=P(B)

2. Если событие А состоит из нескольких событий, то при этом A=A₁A₂…A_k

A_iA_j0 несовместные события

P(A)=_i=1^k P(A_i)

Пример: Бросают 2 кубика.

Какова вероятность получить не меньше 11 очков.

Всего исходов 66=36

S={36} все события равно вероятные.

(5,6), (6,5), (6,6) 3/36=1/12

Но 2,3,4,…,12 не равно вероятны, поэтому другой способ.

S=S₁…S_n

S_iS_j0 несовместные события

Тогда набор {S₁,S₂,…,S_n} – называется полной системой событий, тогда каждое событие

A=AS=(AS₁)(AS₂)…(AS_n)

P(A)=_i=1^k P(AS_i) – формула полной вероятности.

S_i – образует полную систему событий.

2. Условная вероятность.

Определяем события A и B называются независимыми, если вероятность А в пересечении с вероятностью В есть произведение вероятностей.

P(AВ)=Р(А)Р(В)

Условная вероятность события В при событии А

P(B|A)= P(AВ)/P(A)

Теорема: 54

События А и В независимы тогда и только тогда, когда условная вероятность события В при событии А = P(B), т.е. А,В P(B|A)=P(B)

Формулу полной вероятности можно переписать

S₁,S₂,…,S_n

То вероятность события B : P(B)=_i=1ⁿ P(B|S_i) P(S_i)

Примеры условной вероятности.

В урне 10 белых шаров и 10 черных шаров.

С вероятностью ¼ были удалены 5 черных шаров, какова вероятность вытащить белые шары.

Полная система событий - {S₁ (5 шаров не вынули вер. ¾), S₂ (вынули ¼}

P(B|S₁)=10/20 = ½ P(B|S₂)=10/15 = 2/3

P(B) = P(B|S₁)P(S₁)+P(B|S₂)P(S₂)= ½¾ +2/3¼=13/24

Формула Байеса

Есть полная система событий.

S=S₁…S_n

S_iS_j

Тогда вероятность любого события

P(BS_i)=Р(B|S_i)Р(S_i)=P(S_i|B)P(B)=>P(S_i|B)=Р(B|S_i)Р(S_i)/P(B)= Р(B|S_i)Р(S_i)/_j=1ⁿР(B|S_j)Р(S_j) – формула Байеса.

Пример 3:

Событие В, которое зависит от полной системы событий S₁,S₂,…,S_n и известно P(S_i), проводя опыт мы пересчитываем заново вероятности для S_i/

Заболеть вирусом А(0,75) или B(0,25)

Иммунный анализ

IA⁺ (0,8) для А IB⁺ (0,3) для В

Какова вероятность, что больной болен вирусом А, при условии, что иммунный анализ положителен.

P(A|IA⁺) - ?

P(A|IA⁺)= P(IA⁺|A)P(A)/(P(IA⁺|A)P(A)+P(IA⁺|B)P(B))=0,889

4. Случайные величины.

S – множество элементарных событий, тогда функция f:SR¹ называется случайной величиной. Каждому элементарному событию ставит число из R¹/

Определение: Случайные величины  и  называются независимыми, если для любых чисел a,bR {=a}, {=b}

P(=a,=b)=P(=a)P(=b)

5. Матожидание и дисперсия.

Матожидание математической величины .

E=_aa P(=a)

Свойства матожидания:

1. Если P(=a)=1, тогда E=a

2. E(+)E+E

3. =b=E=bE

Дисперсия случайной величины – матожидание квадрата отклонения случайной величины от ее матожидания.

D=E(-E)²

Свойства дисперсии.

1. D=E²-(E)²

2. P(=a)=1 => D=0

3. =+a D=D

4. =b => D=b²D