Связность

Граф называется связанным, если любые две его вершины можно соединить цепью G=(V,E)

Возьмем не пустое подмножество вершин графа 0, sV

E(s)={xS, bS} – множество ребер, для которых эти вершины – концевые

G`=(S,E(s)) – подграф графа G, порожденный множеством S.

Вершина а вступает в отношение с b если их можно соединить цепью это отношение типа эквивалентности или равенства.

a=b 1) a=a

2) a=b <=> b=a

3) a=b

b=a => a=c

Если существуют 2 цепи, соединив получим путь, а из пути можно получить цепь.

Это отношение разбивает множество вершин на не пересекающиеся подмножества.

V₁V₂…V₂=V, V_iV_j=

Если бы V_i=V_j, то был бы путь (3)

Рассмотрим G₁=(V₁, E(V₁))

G₂=(V₂, E(V₂))

…

G_k=(V_k, E(V_k))

G₁…G_k называется компонентами связности графа G

K – степень связности графа G

Из связного графа – степень связности = 1

Не пересекаются

Степень связности = 3

Определение:

Пусть существует G=(V,E), xE

G-X : = (V,E\{X}) выбрали ребра, вершины остались

Теорема: 44

Если в связанном графе ребро x принадлежит циклу, то граф G-X остается связанным графом.

Доказательство:

Пусть x=(a₀,a₁)

a₀x₁a₁x₂a₂…x_La_L

верно и обратно

Теорема: 45

Если G=(V,E) связанный граф, если после удаления xE граф G-X остается связанным, то x принадлежит циклу

Доказательство:

G=(V,E) G-X – связанный, тогда а можно

x=(a,b) соединить с b и добавить x получим цикл.

Определение:

Ребро xE, G=(V,E) называется мостом, если степень связности (G-X) > степени связности G

x x – мост

Теорема: 46 (44-45) необходимый и достаточный критерий моста х является мостом <=> в G нет циклов, содержащих эти ребра.

=> доказательство по теореме 44

<= доказательство по теореме 45

Теорема: 47 Задача о Кеннинсбергских мостах

Определение:

Разомкнутой (замкнутой) Эйлеровой цепью называется простой разомкнутый (замкнутый) путь, включающий все ребра графа.

В графе G=(V,E) существует замкнутая эйлерова цепь <=>

1. G – связанный

2. Все его вершины имеют четную степень deg(a_i) – четно a_iV

Доказательство:

1. Он связанный, т.к. его цепь проходит через все ребра, то мы можем пройти по любому ребру в любую вершину.

2. Вкаждой цепи, каждая вершина встречается четное число раз - вошли вышли.

а₀ а₁ а₂

Пусть а₀ имеет нечетную степень , тогда их четное число(свойство), этого не может быть.

2  1 Т.к. имеются все вершины четной степени (т 42) для любого ребра существует замкнутый простой путь, выберем из него самый длинный.

a₀x₁a₁x₂a₂ x_La_L=a₀

он самый большой

Доказательство чисел:

1) Что вершины графа принадлежат этому пути

Пусть это не так, b не лежит на этом пути. Т.к. граф связанный, вершина b связана цепью с любой a_i, среди путей выберем самый короткий путь, тогда ни одна вершина этого пути кроме a₁ не принадлежит этому пути (иначе получиться, что ест путь короче) следовательно рассмотрим последнее ребро y и оно не принадлежит x_i, т.к. одна из вершин не от сюда.

Выберем все ребра {x₁,…,x_L}, четность сохраняется, тогда в оставшемся графе G для y существует замкнутый простой путь, в оставшемся графе ребра не принадлежат пути.

G={V,E\{x₁,…,x_L}, тогда получим путь длиннее и останется простой.

На самом деле противоречие в принадлежании пути.

2) Все ребра лежат на пути.

Пусть существует у не принадлежащий пути, но т.к. все вершины лежат на этом пути, то это ребро «пристегнуто» к этому пути. (также как в 1)

Следствие: Граф имеет открытую Эйлерову цепь тогда когда

1. граф связанный

2. Существуют 2 вершины нечетной степени.

Доказательство:

Соединим a₀ и a₁ ребром, попадаем в т. 47, по т. 47 связанный и все вершины четные. Удаляя ребро получим нечетные а₀ и а₁.