- •1. Достоверные, невозможные и случайные события. Их вероятности
- •2. Несовместные, равновозможные события. События, образующие полную группу.
- •3. Классическое определение вероятности. Ограниченность классического определения вероятности.
- •4. Относительная частота. Статистическая вероятность. Геометрическая вероятность.
- •5. Сумма событий. Теоремы сложения вероятностей.
- •10. Повторение испытаний. Формула Бернулли.
- •11. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
- •12, 13, 14.Случ. Величины. Основные понятия. Законы распределения дсв.
- •15. Определение числовых характеристик случайных величин. Мат ожидание д.С.В. И его свойства.
- •16. Дисперсия дсв. Её свойства. Среднее квадратическое отклонение д.С.В.
- •17. Начальные и центральные теоретические моменты дсв. Мода. Медиана. Асимметрия. Эксцесс.
- •18.Функция распределения вероятностей случайной величины. Её свойства.
- •19. 20. Плотность распределения вероятностей н.С.В. Её свойства. Мат ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение н.С.В
- •21. Центральные и начальные теоретические моменты н.С.В. Мода, медиана, асимметрия, эксцесс.
- •22. Равномерное распределение. Его числовые характеристики.
- •23. Показательное распределение. Его числовые характеристики.
- •24. Нормальное распределение. Его параметры и график.
- •25. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. «Правило трёх ». Асимметрия и эксцесс.
23. Показательное распределение. Его числовые характеристики.
Показательное распределение(экспоненциальное):
Опр: Показательным распределением НСВ Х назыв распределение, имеющее плотность вида: (система)
0, x < 0
f(x) = λe –λx , x ≥ 0
где -некоторое положительное число(параметр)(=const).
График показательного распределения (1=λ):
.
Функция показательного распределения имеет вид:
0 , x < 0
F(x)=1– e – λx , x ≥ 0
График функции показательного распределения:
.
Числовые характеристики показательного распределения:
M(X) = 1/λ D(X) = 1/λ2 σ(X) = 1/λ
24. Нормальное распределение. Его параметры и график.
Нормальным распределением называется распределениее, имеющее плотность вида: f (x) = ( 1 / σ √ ( 2 π ) ) * e ^ ( ( x – a) 2 / 2σ 2)
где a и σ - два параметра, а именно a=M(x), σ=σ (х)=√D(x).
Опр: График нормальной распределения назыв нормальной кривой (кривой Гаусса)
Рассмотрим график:
1) Область определения: D(f(x))=(–∞; +∞) x принадлежит R
2) Область значений: E(f(x))=(0; +∞)
3) y=0 – горизонтальная асимптота
4) f ’ (x) = ( 1 / σ √ ( 2 π ) ) * e ^ ( ( x – a) 2 / 2σ 2) * (( – 2 ( x – a ) ) / ( 2 σ 2 ))
f ’(x) = 0 x = a – критическая точка, точка максимума
f ( a ) = 1 / σ √ ( 2 π) ( a ; 1 / σ √ ( 2 π)) – координаты точки максимума
5) Точки перегиба x = a ± σ
6) График функции симметричен относительно прямой x = a
25. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. «Правило трёх ». Асимметрия и эксцесс.
Очень часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределённой случайной величины Х по абсолютной величине меньше заданного положительного числа δ (дельта).
P ( | x – a |< δ ) = ? | x - a| < δ => - δ < x-a < δ =>
=> a – δ < x < a + δ => P( |x-a| < δ )=Ф(δ/σ)-Ф(-δ/σ) = 2Ф(δ/σ)
Ф(х) – функция Лапласа.
«Правило трёх »: Оно означает, что вероятность того, что модуль отклонения случ вел Х превзойдёт утроенное среднее квадратическое отклонение равно 0.0027, т.е. такое возможно лишь в 0.27% случаев, и следовательно, по принципу невозможности маловероятных событий, событие Р( |x-a|>3) встречается достаточно редко, т.е. практически невозможно.
При изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят специальные характеристики (асимметрию и эксцесс).
Опр: Асимметрией НСВ Х назыв отношение центрального теоретического момента 3-го порядка 3 к кубу среднего квадратического отклонения 3, т.е. As=3/3
Опр: Эксцессом сл вел Х назыв величина равная Ek = (4/4)–3