5. Сумма событий. Теоремы сложения вероятностей.

Опр: Суммой 2-х событий A и B называется событие С ((А+В)=С), заключающееся в появлении либо соб А, либо соб B, либо обоих вместе.

Теор: (о сумме двух несовместных событий). Пусть соб А и B несовместные события и известны их вероятности Р(А), Р(В) , тогда. P(A+B)=P(A)+P(B)

Теор: (о сумме событий образующих полную группу). Пусть события

А₁ , А₂ …А_n – образуют полную группу и известны Р(А₁), Р(А₂) … Р(А_n) =>

=> ∑(от i=1 до n) Р(А_i ) =1

Опр: Противоположными называются два единственно возможных события образующих полную группу. А – исходное Ā – противоположное

Теор: Р(Ā) = 1-Р(А)

6. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

Опр: Произведением 2-х событий A и B является событие состоящее в их совместном появлении.

Опр: Условной вероятностью события B при условии А (P_A(B)) называется

вер-ть события В вычисленная в предположении, что соб А уже произошло.

Теор(о произведении): Пусть даны два события A и B и известны P(A), Р_А(В)

=>P(AB)=P(A)*P_А(B).

7. Независимые события. Теорема умножения вероятностей независимых событий.

Опр: Два события А и В называются независимыми если вероятность каждого из них не зависит от того произошло другое событие или нет.

Теор(об умножении независимых событий): Пусть соб А и В независимые и вер-ти их появления известны Р(А), Р(В) => Р(АВ)= Р(А)*Р(В)

8. Совместные события. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

Опр: Два события А и В называются совместными если появление одного из них влияет на появление другого в одном и том же испытании.

Теор(о сумме двух совместных событий): Пусть А, В – совместные.

Известны Р(А), Р(В), Р(АВ). => Р(А+В)=Р(А)+Р(В) – Р(АВ)

а) если А, В независимые => Р(А+В)=Р(А)+Р(В) – Р(А) *Р(В)

б) если А, В зависимые => Р(А+В)=Р(А)+Р(В) – Р(А) *Р_А(В)

9. Вероятности гипотез. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

Пусть событие А происходит лишь при условии наступления одного из несовместных, равновозможных соб В1, В2, …Bn, образующих полную группу.

Поскольку заранее не известно какое событие произойдет, то эти события называются гипотезами.

Теор(формула полной вероятности): Пусть событие А происходит лишь при условии наступления одного из несовместных событий В₁, В₂,…В_n , образующих полную группу. Известны вероятности: Р(В₁), Р(В₂),…Р(Вn) и P_B1(A), P_B2(A),… P_Bn(A) => Р(А) = ∑(от i=1 до n) Р(В_i)*Р_Bi(A) = =P(B₁)*P_B1(A)+P(B₂)*P_B2(A)+…+P(B_n)*P_Bn(A)

Теор (Формула Бейеса): Пусть соб А наступает при условии наступления одного из несовместных событий В₁, В₂,…В_n, образующих полную группу.

Пусть известны Р(В₁), Р(В₂),…Р(Вi) и P_B1(A), P_B2(A),… P_Bi(A)

Пусть А – уже наступило => Р(А) = ∑(от i=1 до n) Р(В_i)*Р_Bi(A) =>

=> P_A(B_i) = (P(B_i)*P_Bi(A))/Р(А)

10. Повторение испытаний. Формула Бернулли.

Опр: Если произведено несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исхода других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.

Пусть производится n незав испыт, в каждом из кот соб А может появляться с 1 и той же вер p или не появл с 1 и той же вер q=1-p. Найдем вер того, что соб А в n незав испыт появится ровно k раз. По теор умн вер для незав соб, появление соб А 1 раз опред-ся по ф-ле p^kq^n-k, число таких соб опред по ф-ле С_n^k, поскольку соб А появ в испыт с 1 и той же вер, то по теор сложения вер-й вер-ть, что в n испыт соб А появ k раз:

Р(А) = Р_n(k) = C_n^k * p^k * q^n-k – ф-ла Бернулли

Замеч: если число k велико (больше 30) то по ф-ле Бернулли считать неудобно, в этом случае используют асимптотич ф-лы н-р локальную теорему Лапласа.