16. Дисперсия дсв. Её свойства. Среднее квадратическое отклонение д.С.В.

Опр: Отклонением случайной величины Х от её математического ожидания называется соответствующая разность: [X-M(X)]

Опр: Дисперсией (рассеянием) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания. D(X)=M[X-M(X)]²

Для вычислений удобна формула: D(X)=M(X²)-[M(X)]²

С точки зрения вероятности дисперсия представляет собой характеристику рассеяния случайной величины Х вокруг ее математического ожидания.

Свойтсва:

1.D(C)=0

2.D(Х) > 0

3.Х,У- независ, D(X ± Y)=D(X) + D(Y)

4.Пусть в n независимых испытаниях, событие А появляется с 1й и той же вероятностью p и не появиться с вер-тью q=1-р, тогда дисперсия числа появлений события А: D(X)=n∙p∙q

Еще одной характеристикой рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее мат ожидания явл-ся среднее квадратическое отклонение.

Опр: Средним квадратическим отклонением (х) наз корень из дисперсии.

Среднее квадратическое отклонение применяется тогда, когда размерность результата должна совпадать с размерностью случайной величины.

17. Начальные и центральные теоретические моменты дсв. Мода. Медиана. Асимметрия. Эксцесс.

Опр: Начальным теоретическим моментом k-ого порядка случайной величины X называется математическое ожидание k-ой степени случ вел-ны. _k = M ( X ^k )

Частный случай: ₁=M(X); ₂=M(X²); Следовательно, D=₂ - (₁)²

Опр: Центральным теоретическим моментом k-ого порядка сл вел Х называется мат ожидание от k-й степени отклонения сл вел. _k = M ( X – M ( X ) ) ^k

Частный случай: ₁= M ( X – M ( X ) )=0 (по основному свойству отклонения);

₂= М (( X – M ( X ) ) ² )=D(X).

₂=₂ – (₁)² – связь м/у начальным и центральным моментами.

₃=₃–3₂₁+2(₁)³; ₄=₄–4₃₁+6₂(₁)²–3(₁)⁴;

Опр: Модой случайной величины Х называется наиболее вероятное ее значение Мо(Х). Данное определение справедливо только для ДСВ.

Опр: Асимметрией сл вел Х наз отношение центрального теоретического момента 3-го порядка к кубу среднего квадратического отклонения. As=₃ / ³

Опр: Эксцессом случайной вел-ны Х называется величина равная E_k=(₄ / ⁴)–3

Опр: Медианой Ме(Х) – называется то её возможное значение, для которого выполняется равенство: Р(Х < Me(X)) = P(X > Me(X))

18.Функция распределения вероятностей случайной величины. Её свойства.

Для того, чтобы описать любую случайную величину (как дискретную, так и непрерывную) вводят понятие функции распределения вероятности.

Опр: Функцией распределения F(x) называют вероятность события в том, что случайная величина принимает значение меньше х, наперёд заданного.

Р ( Х < х) = F ( x )

Свойства F(x):

1) F(X) – неубывающая функция, т.е. F(X₂) ≥ F(X₁), при X₂ > X₁.

2) 0 ≤ F(X) ≤ 1

3) Вероятность того, что случайная величина х принимает свои возможные значения от a до b равна функции приращения на этом интервале, т.е.

P( a  X  b ) = F(b) – F(a).

4) Если случайная величина х принимает свои значения в интервале от a до b, то справедливо: F(X)=0, при x  a и F(X)=1, при x  b.

замечание: если сл вел х принимает все знач, распределенные на оси ОХ, то справедливы соотношения:

и .

Из свойств F(X) очевидно, как будут располагаться графики.

1) График F(X) для непрерывной случайной величины расположен в полосе между прямыми у=0 и у=1.

2) На промежутке (a,b) график поднимается.

3)Левее x=a ординаты графика равны 0, правее x=b ординаты графика равны 1.

Для ДСВ график F(X) ступенчатый