19. 20. Плотность распределения вероятностей н.С.В. Её свойства. Мат ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение н.С.В
НСВ, кроме функции распределения F(X), можно задать с помощью плотностью распределения.
Опр: Плотность распределения вероятностей есть производная от функции распределения. f(x)=F’(x)
По известной плотности распределения можно получить функцию распределения по следующей формуле: F(x) = –∞ ∫ x f(x) dx
Свойства плотности распределения:
1) Плотность – есть функция неотрицательная (f(x)0).
2) –∞ ∫ +∞ f(x) dx = 1 если a ≤ x ≤ b a ∫ b f(x) dx = 1
3) P (a < x < b) = a ∫ b f(x) dx
Опр: Мат ожидание НСВ X: M(X) = –∞ ∫ +∞ x∙f(x) dx
где f(x) – плотность распределения.
Опр: Дисперсия НСВ Х: D(X) = M(X 2) – M 2(X) =
= –∞ ∫ +∞ x2 ∙ f(x) dx – (–∞ ∫ +∞ x ∙ f(x) dx)2 = –∞ ∫ +∞ (X–M(X))2 ∙ f(x) dx
Опр: Средним квадратическим отклонением (х) наз корень из дисперсии
21. Центральные и начальные теоретические моменты н.С.В. Мода, медиана, асимметрия, эксцесс.
Опр: Начальный теоретический момент порядка k НСВ Х, определяем по ф-ле:
2 = –∞ ∫ +∞ x∙f(x) dx
Частный случай: 1=M(X), 2=M(X2), D(X)=2-(1)2.
Опр: Центральным теоретич моментом порядка k НСВ Х, называется величина:
k = –∞ ∫ +∞ (X–M(X))k ∙ f(x) dx
Частный случай: 1=0; 2=D(X)=2-(1)2; 3=3-321+2(1)3;
4=4-431+62(1)2-3(1)4
Опр: Модой НСВ (М0(Х)) наз то ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения.
Зам: в частности, если f(x) имеет 2 max, то распределение наз-ся бимодальным.
Опр: Медианой НСВ (Мe(Х)) называют то ее возможное значение х, в котором ордината плотности делит пополам площадь ограниченную кривой распределения, или медианой называют то возможное значение х, при котором P( X < Me ( X ) )=P ( X > Me ( X ) )
Опр: Асимметрией НСВ Х назыв отношение центрального теоретического момента 3-го порядка 3 к кубу среднего квадратического отклонения 3, т.е. As=3/3
Опр: Эксцессом сл вел Х назыв величина равная Ek = (4/4)–3
22. Равномерное распределение. Его числовые характеристики.
Плотности распределений называют законами непрерывной случайной величины. Часто встречаются законы равномерного, показательного и нормального распределения.
Равномерное распределение.
Опр: Распределение вероятности называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность сохраняет постоянное значение.
Пусть случайная величина Х принимает все возможные значения на (a,b). Тогда по определению плотность примет вид (система):
0, x ≤ a
f(x) = c, a < x < b
0, x ≥ b
где с-const. Используя второе свойство плотности( –∞ ∫ +∞ f(x) dx = 1):
a∫b c dx = 1; cx│ab ; c(b-a)=1; c=1/(b-a).
Следовательно, закон равномерного распределения примет вид:
0 , x ≤ a
f(x) = 1/(b–a) , a < x < b
0 , x ≥ b
Интегрируя определённую выше плотность, получаем:
0 , x ≤ a
F(x) = (x-a)/(b-a) , a < x < b
1 , x ≥ b
Числовые характеристики равномерного распределения:
;
;
