11. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Локальная теорема Лапласа: Если в n независимых испытаниях, событие А может появиться с вероятностью p и не появиться с вероятностью q=1-p, =>

=> вероятность того что в n испытаниях появ k раз => P_n(k) = (1/√(n∙q∙p)) * φ(x)

где X= k-n∙p/√(n∙q∙p) φ(x)=(1/√(2π))*e^(-x²/2)

(х)- ф-я четная, т.е. (-х)= (х). Значение функции (х) находится по таблице.

Интегральная теорема Лапласа: Если в n независимых испытаниях, соб А появляется с 1й и той же вер-тью p и не появляется с вер-тью q=1-р, то вер-ть того, что соб А появится в n испытаниях не менее k₁ и не более k₂ раз, определяется по формуле: P_n(k₁,k₂)=Ф(х₂)-Ф(х₁),

X_i= k_i - n∙p/√(n∙q∙p)

где Ф(х) – функция Лапласа. Функция Лапласа нечетная, т.е, Ф(-х)=-Ф(х), значение функции определяется по таблице, причем для x>5 - Ф(х)=0,5.

12, 13, 14.Случ. Величины. Основные понятия. Законы распределения дсв.

Опр: Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Опр: Дискретной случайной величиной (ДСВ) называют величину, которая принимает отдельные изолированные значения с определённой вероятностью.

Опр: Непрерывной называют случайную величину, которая принимает все возможные значения из некоторого промежутка.

Опр: Законом распределения случайных величин называется всякое соответствие м/у возможными значениями случ вел и вер-ми их осуществления.

Закон распределения ДСВ может быть записан в виде таблицы, графика :

x	x1	x2	…	хn- значение сл вел
p	p1	p2	…	pn- их вероятности

Так как события x₁, x₂, … , x_n образуют полную группу, то сумма вероятностей этих событий равна 1, т.е. p₁+p₂+…+p_n=1.

Виды законов распределения дискретной случайной величины:

1.Биномиальный закон: Р = С_n^k ∙ p^k ∙ q^n-k

2.Распределение Пуассона: Р = (λ ^k ∙ e ^{– λ} )/k! , где k = n ∙ p

3.Геометрический закон: Р = q ^{k - 1} ∙ p

4.Гипергеометрический закон: P = (C_n^m ∙ C_{N - n}^{M – m}) / C_N^M

Биномиальное закон и закон Пуассона.

Биномиальный закон: Р = С_n^k ∙ p^k ∙ q^n-k

Биномиальный закон основывается на формуле Бернулли. В нём С_n^k – коэффициент в разложении в бином Ньютона. Если в биномиальном законе n>30 и p<0,01, то применяют закон Пуассона: Р = (λ ^k ∙ e ^{– λ} )/k! , где k = n ∙ p

Геометрический закон.

Пусть производятся независимые испытания в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же = р, а не появления q=1-р.

Пусть событие А в k-1 испытаниях не появляется, а в k-ом испытании появилось, тогда по теореме умножения вероятностей независимых событий

=> Р = q ^{k - 1} ∙ p

15. Определение числовых характеристик случайных величин. Мат ожидание д.С.В. И его свойства.

Случайная величина полностью описывается законом распределения, но иногда он неизвестен. В этом случае используют числа, которые описывают ДСВ суммарно, их назыв числовыми характеристиками.

К ним относятся: мат ожидание М(X), дисперсия D(X), среднее квадратическое отклонение σ(X), начальный ν_k(X) и центральный μ_k(X) теоретические моменты, мода Mo(X), медиана Me(X), асимметрия As(X) и эксцесс Ek(X).

пусть задан закон распределения:

x	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

Опр: Мат ожиданием ДСВ называется сумма произведений возможных значений случайной величины на их вероятности.

М(х) = ∑(от k=1 до n) x_k ∙ p_k = x₁ ∙ p₁ + x₂ ∙ p₂ +…+ x_k ∙ p_k

С точки зрения вероятности мат ожидание – есть среднее арифметическое возможных значений случайной величины.

Свойства математического ожидания:

1.M(C)=C, С-const.

2.M(CX)=CM(X)

3.Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(X*Y)=M(X)*M(Y).

4.M(X+Y)=M(X)+M(Y).

5. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А появляется с одной и той же вероятностью p, тогда математическое ожидание числа появлений события А равно: M(X)=np.