- •1. Предмет и метод статистики
- •2. Статистическая совокупность, признаки массового явления и закон больших чисел.
- •Закон больших чисел Массовый характер общественных законов и своеобразие их действий предопределяет необходимость исследования совокупных данных.
- •3.Статистические показатели и условия их сопоставимости.
- •4. Абсолютные и относительные величины.
- •5.Статистические наблюдения. Формы, виды и способы.
- •6. Сводка статистических данных.
- •7.Статистическая группировка и ее виды
- •8. Ряды распределения и их графическое распределения
- •Графический метод изучения рядов распределения
- •9. Статистические таблицы и графики
- •10. Причины применения выборочного наблюдения и его параметры
- •Выборочные наблюдения, виды выборки
- •По методу отбора: Повторное
- •Бесповторное
- •12. Ошибки выборки.
- •13. Малая выборка
- •14. Повторный и бесповторный отбор в выборочном наблюдении. Повторное
- •Бесповторное
- •15. Средние величины, виды средних.
- •16. Средняя арифметическая и ее свойства.
- •17. Структурные средние, их графическое определение.
- •Медиана
- •Квартиль
- •21. Индексы общие понятия. Индивидуальные и агрегатные индексы.
- •22. Средние индексы
- •23. Взаимосвязь индексов.
- •24. Цепные и базисные индексы с постоянными и переменными весами.
- •25. Индексы динамики, выполнения плана и планового задания
- •27. Индексы Количественных и качественных показателей.
- •28. Кривые нормального распределения Нормальное распределение показателей и основные статистические характеристики совокупности
- •29. Ряды динамики.
- •30. Показатели рядов динамики
- •31. Сезонность колебаний
16. Средняя арифметическая и ее свойства.
СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ. Наиболее распространенным видом средних является средняя арифметическая. Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц. Для общественных явлений характерна аддитивность (суммарность) объемов варьирующего признака, этим определяется область применения средней арифметической и объясняется ее распространенность как обобщающего показателя. Так, например, общий фонд заработной платы — это сумма заработных плат всех работников, валовой сбор урожая - сумма произведенной продукции со всей посевной площади. Чтобы исчислить среднюю арифм-ую, нужно сумму всех значений признаков разделить на их число. Средняя арифметическая применяется в форме простой средней и взвешенной средней. Исходной, определяющей формой, служит простая средняя. Средняя арифметическая простая равна простой сумме отдельных значений осредняемого признака, деленной на общее число этих значений :
где X1,X2...Xn- индивидуальные значения варьирующего признака (варианты); n- число единиц совокупности. Средняя арифметическая взвешенная — средняя сгруппированных величин— вычисляется по формуле:
Тогда формула взвешенной будет иметь вид:
X‾ap=∑xd / ∑d где d =f / ∑f— частость, т.е. доля каждой частоты в общей сумме всех частот.
Если частоты подсчитывают в долях (коэфф-тах), то ∑d=1 и формула средней арифметической взвешенной имеет вид:
Часто приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним), т.е. среднюю из средних. Так, например, средняя
продолжит-ть жизни граждан страны представляет собой среднее из средних продолж-ей жизни по отдельным регионам данной страны. Средние из средних рассчитываются так же, как и средние из первоначальных значений признака. При этом средние, которые служат для исчисления на их основе общей средней, принимаются в качестве вариантов. Вычисление средней арифметической взвешенной из групповых средних X‾гр осуществляется по формуле: X‾ap=∑X‾грf / ∑f
где f— число единиц в каждой группе.
Расчет средней арифметической в рядах распределения: Если значения осредняемого признака заданы в виде интервалов ("от — до"), т.е. интервальных рядов распределения, то при расчете средней арифметической величины в качестве значений признаков в группах принимают середины этих интервалов, в результате чего образуется дискретный ряд.Свойства средней арифмет-ой:
1) Если все индивидуальные значения признака (т.е. все варианты) уменьшить или увеличить в i раз, то среднее значение нового признака соответственно уменьшится или увеличится в i раз. 2). Если все варианты осредняемого признака уменьшить или увеличить на число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на это же число А. 3) Если веса всех осредняемых вариантов уменьшить или увеличить в к раз, то средняя арифметическая не изменится.
Для получения действительной средней надо момент первого порядка от, умножить на i и прибавить А:
Данный способ вычисления средней арифмет-ой из вариационного ряда называют «способом моментов». Применяется этот способ в рядах с равными интервалами.
СРЕДНЯЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ.
При расчете средних показателей помимо средней арифметической могут использоваться и другие виды средних. Однако любая средняя величина должна вычисляться так, чтобы при замене ею каждого варианта осредняемого признака не изменялся итоговый, обобщающий, или, как его принято называть, определяющий показатель, который связан с осредняемым показателем (например, при замене фактических скоростей на отдельных отрезках пути их средней скоростью не должно измениться общее расстояние, пройденное транспортным средством за одно и то же время; при замене фактических заработных плат отдельных работников предприятия средней заработной платой не должен измениться фонд заработной платы). Следовательно, в каждом конкретном случае в зависимости от характера имеющихся данных существует только одно истинное среднее значение показателя, адекватное свойствам и сущности изучаемого социально-экономического явления. Вид средней определяется характером взаимосвязи определяющего показателя с осредняемым. Формула средней гармонической взвешенной:
Из формулы видно, что средняя гармоническая — средняя взвешенная из варьирующих обратных значений признака. Она является преобразованной формой арифметической средней и тождественна ей. Таким образом, средняя гармоническая применяется тогда, когда неизвестны действительные веса f, а известно w=x*f т.е. в тех случаях, когда средняя предназначается для расчета сумм слагаемых, обратно пропорциональных величине данного признака, когда суммированию подлежат не сами варианты, а обратные им величины.___В тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице (индивидуальные значения обратного признака встречаются по одному разу), применяется средняя гармоническая простая, исчисляемая по формуле:
где 1/x— отдельные варианты обратного признака, встречающиеся по одному разу; п — число вариантов.__Если по двум частям совокупности даны средние гармонические, то общую среднюю гармоническую по всей совокупности можно представить как взвешенную гармоническую среднюю из групповых средних:
СРЕДНЯЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста. Средняя геометрическая исчисляется извлечением корня степени п из произведений отдельных значений — вариантов признака х.
где n - число вариантов; П - знак произведения.
Наиболее широкое применение средняя геом-ая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.
СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ И СРЕДНЯЯ КУБИЧЕСКАЯ. В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны и квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны л кубов).
Формулы для расчета средней квадратической:
Средняя квадратическая простая является квадратным корнем из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число:
Средняя квадратическая взвешенная
где f - веса.
Формулы для расчета средней кубической:
Средняя кубическая простая
Средняя кубическая взвешенная
Средние квадратическая и кубическая имеют ограниченное применение в практике статистики. Широко пользуется статистика средней квадр-ой, но не из самих вариантов х, и из их отклонений от средней при расчете показателей вариации. Средняя может быть вычислена не для всех, а для какой-либо части единиц совокупности. Примером такой средней может быть средняя прогрессивная как одна из частных средних, вычисляемая не для всех, а только для "лучших" (например, для показателей выше или ниже средних индивидуальных).