Частотная передаточная функция системы автоматического управления

Ч астотные характеристики системы автоматического управления определяются при подаче на вход системы гармонического воздействия

,

где (формула Эйлера).

При подаче такого сигнала на вход и после затухания переходных процессов на выходе установятся также гармонические колебания с той же частотой , но с другой амплитудой и фазой (рис. 37). Тогда для выходного сигнала можно записать

y(t) = y_m = y_m ,

где  угол фазового сдвига выходного сигнала относительно входного;  период сигнала;   круговая частота сигнала.

Пусть исследуемая линейная система описывается обыкновенным линейным дифференциальным уравнением

При гармоническом входном сигнале можно в этом уравнении определить все производные входной величины

,

,

....................................................................................

.

Аналогично определятся и производные выходной величины. В результате исходное дифференциальное уравнение можно переписать в виде алгебраического уравнения

Решив это уравнение, получим

Величина W(j ) называется комплексной частотной функцией (или частотной передаточной функцией). Комплексная частотная функция может быть найдена по передаточной функции путем подстановки p = j:

Частотная передаточная функция может быть записана в комплексном виде

где А() – модуль частотной передаточной функции; () – фазовый угол (аргумент); U() = ReW(j) – вещественная составляющая передаточной функции; V() = JmW(j) – мнимая составляющая частотной передаточной функции.

Для частотной передаточной функции справедливы следующие соотношения:

, .

Зависимости А( ) и ( ) определяют изменение амплитуды и фазы колебаний на выходе системы при изменении частоты входных колебаний. Модуль частотной характеристики A() определяет коэффициент усиления системы для гармонического сигнала с частотой .

Частотные характеристики системы автоматического управления

Частотную передаточную функцию W(j), являющуюся комплексным выражением, можно представить в векторной форме. При изменении частоты входного сигнала в пределах - < < + конец вектора опишет годограф, который называют амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) (рис. 38).

А ФЧХ строится по точкам. Отрицательная ветвь характеристики АФЧХ при (на рис. 38 показана пунктиром) зеркально отражает ветвь . Поэтому при анализе системы достаточно построить положительную ветвь АФЧХ при изменении частоты .

Амплитудно-фазовая частотная характеристика широко применяется при исследовании систем автоматического управления, например при исследовании устойчивости системы автоматического управления.

Наряду с АФЧХ частотные свойства системы описываются также логарифмическими частотными характеристиками (ЛХ): логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАХ) и логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФХ). Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика обычно обозначается как L() и находится из соотношения дБ. Величина выражается в децибелах.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика ЛАХ строится в координатах L()  , при этом для оси  используется логарифмический масштаб. Использование логарифмического масштаба для оси частот приводит к тому, что эта ось разбивается на одинаковые участки – декады, в пределах которых частота увеличивается в 10 раз.

Л огарифмическая фазовая характеристика ЛФХ строится в координатах . Координатные сетки обеих характеристик объединяются и представляются в общепринятой формуле, показанной на рис. 39.

О

Рис. 39

собенностью построений на рис. 39 является то, что положительное направление оси θ() выбирается вниз – противоположно общепринятому направлению.

По оси абсцисс оцифровка ведется в единицах частоты , сами величины откладываются в логарифмическом масштабе. Частотный интервал, соответствующий удвоению частоты, называется октавой. Частотный интервал, соответствующий изменению частоты в 10 раз, называется декадой.

Достоинством логарифмических характеристик является их более простое построение, по сравнению с АФЧХ, а также возможность получения суммарной характеристики для соединения элементов простым суммированием ЛАХ и ЛФХ элементов.

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика строго может быть построена в том случае, когда передаточная функция не имеет размерности. Поэтому при построении логарифмических характеристик системы передаточную функцию системы следует преобразовать к такому виду, когда коэффициент преобразования системы становится безразмерным.