1.3. Теоретико-множественные и логические модели надежности сээс

Сложные технические системы, к которым относятся ЭЭС, способны выполнить заданные функции несколькими способа-ми, что обеспечивает работоспособность ЭЭС при отказе отдельных элементов. Набор элементов, входящих в состав ЭЭС, является конечным, счетным множеством и может быть задан списком

X={x₁, x₂, ..., x_i, ...,x_m}, (7)

где Х—множество элементов, образующих ЭЭС, х_i—индикатор i-го элемента, принадлежащего множеству X, что обозначают через символ принадлежности Î так: x_i Î X.

Множество Х характеризуется мощностью m — числом своих элементов.

Относительно элементов ЭЭС могут быть высказаны различные утверждения, они становятся истинными или ложными в процессе исследования надежности ЭЭС. Например, высказывание P (x): «Элемент х является работоспособным». Применяя это высказывание последовательно ко всем элементам множества X, получаем вектор логических переменных

X = [x₁, x₂, .., x_i, .., x_m, ], (8)

где истина, если P (x_i ) – истинно;

x_i = 

 ложь, если P (x_i ) – ложно.

Вектор Х может быть представлен в ЭВМ соответствующим массивом логических переменных размерностью m. Здесь уместно отметить аналогию организации данных в программах и указанными формами записи, так, выражение (7) соответствует отведению в ЭВМ m ячеек памяти, а выражение (8)—присвоению элементам массива конкретных значений. Многие алгоритмические языки программирования позволяют прямо оперировать с логическими переменными, однако про-граммы часто оказываются более гибкими, если вместо логических переменных используют целочисленные индикаторы

1, если P (x_i ) – истинно;

x_i =  (9)

0, если P (x_i ) – ложно.

В этом случае вектор Х описывается двоичным целым числом.

Вектор Х определяет состояние элементов ЭЭС и порождает фундаментальное пространство состояний В, мощностью которого 2^m:

B = X₀, X₁, …, X_i, .., X_k (10)

где k=2^m — 1. При такой нумерации векторов их значения соответствуют индексам, записанным в двоичном коде.

Высказывание P (Х): «Система работоспособна в состоянии X Î B » является функцией алгебры логики от m логических переменных F(X). Эта функция выделяет в фундаментальном множестве В подмножество S, соответствующее работоспособным состояниям сложной системы:

S = X  B  F(X)  (11)

Пример 1. Пусть судовая электростанция состоит из трех ДГ. Предельное состояние системы наступает при отказе двух ДГ. В этом случае

X = {x₁, x₂, x₃} ;

B = {X₀, X₁, X₂, X₃, X₄, X₅, X₆, X₇},

где X₀ = [000]; X₁ = [001]; X₂ = [010]; X₃ = [011];

X₄ = [100]; X₅ = [101]; X₆ = [110]; X₇ = [111]

Область работоспособных состояний S = {Х₃, X₅, Х₆, Х₇}.

Б

Рис. 2.

Рис. 3.

(см. рис. 2)

олее наглядно эту область можно представить на диаграмме Венна (рис. 2) или на соответствующей ей матрице Карно (рис. 3), откуда

следует, что функция алгебры логики (ФАЛ)

F(X) = x₁x₂  x₁x₃  x₂x_3.

Из приведенного примера видно, что ФАЛ позволяет проводить логический анализ состояний системы, т. е. оценку ее работоспособности в конкретных состояниях, но количественные оценки показателей надежности пока сделать нельзя из-за отсутствия данных о вероятности появления каждого состояния системы. Правда, иногда полагают все состояния равновероятными и тогда вероятность безотказного состояния определится отношением мощности множества S к мощности множества В, что в приведенном примере дает значение 0.5.