Лабораторная работа № 1

Тема: Оптимизационные задачи

Часть I: Оптимизационные задачи

Задача №1.1: Задача о кирпичах

Кирпичный завод производит два вида кирпичей: I и II вида.Для производства используются 3 марки глины: А, В, С. По плану завод должен произвести 6 условных единиц кирпичей I вида и 5 условных единиц II вида.

Известен расход каждого вида глины для производства 1 у.е. каждого вида кирпичей. Для кирпичей I вида используется 1 у.е. глины А, 2 у.е. глины С. Для II вида используется 1 у.е. глины А, 2 у.е. глины В, 2 у.е. глины С.

Запас сырья ограничен: глины А – 23 у.е., В – 30 у.е., С – 36 у.е.

Необходимо рассчитать, сколько кирпичей разных марок должен произвести завод сверх плана, чтобы получить максимальную прибыль, если известно, что реализация 1 у.е. кирпичей I вида – 3 грн., II вида – 5 грн.

Решение:

Для удобства представим условие задачи в виде таблицы 1.1.

Таблица 1.1 Краткое условие задачи о кирпичах

Марка	Расход глины (на 1 у.е.)			План производства	Прибыль
	А	В	С
I	1	0	2	6	3
II	1	2	2	5	5
Запас сырья	25	30	36

– количество кирпичей первого вида

- количество кирпичей второго вида

Составим целевую функцию:

Составим систему ограничений:

1. Ограничения по плану производства

2. Ограничения по сырью

Решение данной задачи в Excel представлено на рис. 1.1, 1.2.

Рисунок 1.1. Поиск решений

Рисунок 1.2 Общий вид решения задачи в Excel

Графическое решение задачи о кирпичах

Графическое решение задачи о кирпичах представлено на рис. 1.3.

Рисунок 1.3 Графическое решение задачи о кирпичах

Область допустимых решений представляет собой треугольник.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке B. Так как точка B получена в результате пересечения прямых, то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

x₁≥6

2x₁+2x₂≤36

Решив систему уравнений, получим: x₁ = 6, x₂ = 12

Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

F(X) = 3*6 + 5*12 = 78

Задача №1.2: Задача о конфетах

Производится три вида конфет: А, В, С.

Известно, что при продаже 10 кг конфет А получаемая прибыль – 9 грн. При продаже конфет С =16 грн, В =10 грн.

Ограничений на сбыт нет. Все конфеты пользуются спросом. При производстве используются 3 вида сырья: какао, сахар, наполнитель. Их запасы ограничены: какао = 360 кг, сахар = 192 кг, наполнитель = 180 кг.

Для производства 10 кг конфет идет:

• Для конфет А: какао = 18 кг, сахар = 6 кг, наполнитель = 5 кг.

• Для конфет В: какао = 15 кг, сахар = 4 кг, наполнитель = 3 кг.

• Для конфет С: какао = 12 кг, сахар = 8 кг, наполнитель = 3 кг.

Определить, какие конфеты и в каком количестве необходимо производить, чтобы прибыль была максимальной.

Решение:

Представим условие задачи в виде таблицы 1.2

Таблица 1.2 Краткое условие задачи о конфетах

Вид конфет	Прибыль	Расход глины (на 10 кг)
		Какао	Сахар	Наполнитель
А	9	18	6	5
В	10	15	4	3
С	16	12	8	3
Запас сырья		360	192	180

– количество конфет первого вида

- количество конфет второго вида

- количество конфет третьего вида

Составим целевую функцию:

Составим систему ограничений:

1. Ограничения по объему производства:

2. Ограничения по запасу сырья:

Решение данной задачи в Excel представлено на рис. 2.2.

Рисунок 1.1. Поиск решений

Рисунок 1.2 Общий вид решения задачи в Excel