РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Л.А.Растригин. Вычислительные машины, системы, сети... . М.: "Наука",
1982.
2.Р.Фейнман, Р.Лейтон, М.Сэндс. Фейнмановские лекции по физике, т.1,2.
М.: "Мир", 1976.
3.И.М.Соболь. Метод Монте-Карло. М.: "Наука", 1978.
4.Н.П.Бусленко, Ю.А.Шрейдер. Метод статистических испытаний (МонтеКарло). М.: Гос.изд.физ.-мат.лит., 1961.
5.Г.Хан, С.Шапиро. Статистические модели в инженерных задачах. М.: "Мир", 1969.
6.С.М.Ермаков, Г.А.Михайлов. Курс статистического моделирования. М.: "Наука", 1976.
7.Вероятностные методы в вычислительной технике: Учеб. Пособие / Под ред. А.Н.Лебедева и Е.А.Чернявского. М.: Высшая школа, 1986.
8.А.Е.Мудров. Численные методы для ПЭВМ на языках БЭЙСИК, ФОРТРАН и ПАСКАЛЬ. Томск: МП "Раско", 1992.
9.Л.В.Тарасов, А.Н.Тарасова. Беседы о преломлении света. Библиотечка "Квант", выпуск 18. М.: "Наука", 1982.
79
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРИЛОЖЕНИЕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частные производные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пусть |
|
|
|
функция |
y |
|
зависит |
от |
m |
|
независимых |
переменных : |
|||||||||||||||||||
y = f (x1, |
|
|
|
|
, xm ) . Частной производной функции y |
в точке |
|
x1, |
, xm по |
||||||||||||||||||||||
переменной xk |
|
( k = 1, |
|
|
, m ) |
называется величина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
y′xk |
= |
|
|
∂y |
|
= |
|
lim |
f |
(x1, |
|
, xk + ∆xk , |
, xm ) − f (x1, |
, xk , |
|
, xm ) |
, |
||||||||||||||
|
∂xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
∆xk |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∆xk →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
т.е. частная производная по переменной |
xk |
совпадает с |
обыкновенной |
||||||||||||||||||||||||||||
производной |
функции |
|
y = f (x1, |
, xm ) |
|
при |
неизменных |
|
остальных |
||||||||||||||||||||||
переменных |
x1, |
, xk −1, xk +1, |
|
|
, xm . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Аналогично определяется частная производная второго порядка в точке |
|||||||||||||||||||||||||||||||
x1, , xm |
|
|
|
по переменным xk , xl ( k = 1, |
, m ; l = 1, |
, m ): |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
∂y |
|
|
∂2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y′′ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
xk xl |
|
|
|
|
∂xl |
∂xk |
|
|
∂xk ∂xl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
= lim |
y′x (x1, |
|
, xl + ∆xl , |
, xm ) − y′x |
|
(x1, |
, xl , |
, xm ) |
. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
∆xl →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Экстремум функции многих переменных
В теории математического анализа доказывается, что необходимым условием существования локального экстремума (максимума или минимума) функции многих переменных y = f (x1, , xm ) в точке x10 , , xm0 является равенство нулю всех ее частных производных в этой точке :
y′ |
(x |
, |
, x |
m0 |
) = |
∂y |
= 0 , k = 1, , m . |
|
|||||||
xk |
10 |
|
|
|
∂xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80
Локальность экстремума означает, что функция имеет максимум или минимум в окрестностях точки x10 , , xm0 . Вообще говоря, функция может принимать наибольшее или наименьшее значение в другой точке области ее определения, а не в точке локального экстремума.
Достаточное условие локального экстремума для функции многих переменных является более сложным и здесь не приводится.
|
|
|
|
|
Уравнение Лапласа |
|
Если |
|
ψ(x, y, z) − функция от независимых переменных |
x, y, z |
|||
(координат), то уравнение в частных производных |
|
|||||
∂2ψ |
+ |
∂2ψ |
+ |
∂2ψ |
= 0 |
|
∂x2 |
∂y2 |
∂z2 |
|
|||
|
|
|
|
|||
называется уравнением Лапласа. Таким уравнением описывается, например, распределение электростатического потенциала в областях пространства, свободных от зарядов, или потенциал поля тяготения в области, не содержащей притягивающих масс. Уравнением Лапласа описываются также стационарные процессы теплопроводности, диффузии и другие процессы в физике и технике.
Часто уравнение Лапласа записывают в другом виде через дифференциальный оператор Лапласа ∆ или лапласиан, который функции
ϕ(x1, x2 , , xm ) |
от m независимых переменных |
x1, x2 , , xm |
ставит в |
||||||
соответствие функцию |
|
|
|
|
|||||
∆ϕ = |
∂2 |
ϕ |
+ |
∂2ϕ |
+ + |
∂2ϕ |
. |
|
|
∂x2 |
∂x2 |
∂x2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
2 |
|
m |
|
|
|
С помощью |
оператора |
∆ уравнение Лапласа |
записывается |
в более |
|||||
простом виде |
|
|
|
|
|
|
|
||
∆ϕ = 0 .
81
ДЛЯ ЗАМЕТОК
82
ББК 32.97:53 УДК 53.072
Дмитрий Александрович Кайран Игорь Васильевич Кандауров Александр Анатольевич Краснов Николай Александрович Мезенцев Олег Игоревич Мешков Валерий Федорович Пиндюрин Борис Александрович Скарбо
МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ НА ЭВМ
Часть V
Статистическое моделирование
Методическое пособие
Подписано в печать 26.06.2000 |
Формат 60 х84 1/16 |
Тираж 150 экз.
Отпечатано на ризографе СУНЦ НГУ, 630090, Новосибирск-90, ул.Пирогова, 11
83